Калькулятор матриць

Як користуватися калькулятором матриць

1. Виберіть Дію: A + B (додавання), A − B (віднімання), A × B (множення), k × A (множення на число), Транспонована матриця A, Визначник матриці A, Обернена матриця A, Ранг матриці A, Зведений східчастий вигляд (RREF) матриці A, Степінь Aⁿ, Власні значення матриці A або скалярний і векторний добутки двох векторів.
2. Задайте розмір Матриці A за допомогою Рядків і Стовпців (від 1 до 6), а потім введіть елементи в сітку. Приймаються цілі числа, десяткові дроби на кшталт 2,5 і звичайні дроби на кшталт -3/4, а порожня клітинка вважається 0. Матриця B з’являється лише для дій, яким вона потрібна.
3. Щоб не вводити клітинку за клітинкою, відкрийте Ввести або вставити текстом, вставте рядки (з електронної таблиці, документа чи списку [[1, 2], [3, 4]]) і натисніть Заповнити сітку.
4. Результат оновлюється, поки ви вводите; Обчислити робить те саме. Поміняти A і B міняє дві матриці місцями, Приклад завантажує приклад 3 × 3, а Очистити спорожняє обидві сітки.
5. Прочитайте результат, а потім відкрийте список Покроково під ним, щоб простежити обчислення. Показувати десяткові дроби перемикає відображення з дробів на десяткові, Використати результат як A дає змогу виконувати дії послідовно (наприклад, обернути, а потім помножити), а Копіювати копіює результат рядками, розділеними табуляціями, які можна вставити в електронну таблицю.

Уся арифметика виконується зі звичайними дробами, а не з округленими числами з рухомою комою. Обернена до [[4, 7], [2, 6]] показується як [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]], а не як 0,6000000001.

Працює у вашому браузері. Нічого з того, що ви вводите, не надсилається на сервер.

Що робить кожна дія

• Додавання й віднімання виконуються поелементно й потребують двох матриць однакового розміру.
• Множення A × B потребує стільки стовпців у A, скільки рядків у B: матриця m × n, помножена на матрицю n × p, дає матрицю m × p. Кожен елемент – це рядок A, помножений на стовпець B, а кроки виписують усі ці суми, наприклад c₁₁ = 1 × 5 + 2 × 7 = 19. Пам’ятайте, що A × B і B × A зазвичай різні.
• Визначник: для матриць 2 × 2 використовується ad − bc, для 3 × 3 – розклад Лапласа за першим рядком (із показом кожного мінора), а більші матриці зводяться до трикутного вигляду операціями над рядками. Тоді визначник – це добуток діагоналі зі зміною знака на кожну перестановку рядків.
• Обернена матриця: метод Гаусса – Жордана для розширеної матриці [A | I]. Кожен крок перелічує операції над рядками, як-от R2 → R2 − 3R1, і показує матрицю після них. Коли лівий блок стає одиничною матрицею, правий блок – це A⁻¹. Якщо бракує провідного елемента, матриця вироджена й оберненої не має.
• Ранг і RREF: те саме виключення, але для самої матриці A. Ранг – це кількість провідних елементів, а кроки вказують, у яких стовпцях вони стоять.
• Степінь Aⁿ використовує повторне піднесення до квадрата, тож для A¹⁰⁰ потрібно лише кілька множень. A⁰ – одинична матриця, а для від’ємних показників використовується обернена.
• Скалярний і векторний добутки розглядають один рядок або один стовпець як вектор. Для векторного добутку потрібні 3 компоненти.

Власні значення: точні й наближені

Інструмент спершу точно обчислює характеристичний многочлен det(λI − A) методом Фаддєєва – Леверр’є. Для матриці 2 × 2 власні значення випливають із формули кореня квадратного рівняння й лишаються точними, зокрема з квадратними коренями й комплексними значеннями: [[1, 1], [1, 0]] дає 1/2 ± √5/2. Для матриць 3 × 3 і більших корені знаходяться чисельно зсувним QR-алгоритмом. Кожен корінь, що є простим дробом, потім точно перевіряється в многочлені й показується без знака ≈. Решта – наближення з точністю приблизно до 8 значущих цифр, вони позначені ≈. Власні вектори не обчислюються.