Calculadora de matrius

Com fer servir la calculadora de matrius

1. Tria una Operació: A + B (suma), A − B (resta), A × B (producte), k × A (producte per un escalar), Transposada d’A, Determinant d’A, Inversa d’A, Rang d’A, Forma escalonada reduïda per files (RREF) d’A, Potència Aⁿ, Valors propis d’A, o els productes escalar i vectorial de dos vectors.
2. Fixa la mida de la Matriu A amb Files i Columnes (d‘1 a 6) i escriu els elements a la quadrícula. S’accepten nombres enters, decimals com 2,5 i fraccions com -3/4, i una cel·la buida val 0. La Matriu B només apareix per a les operacions que la necessiten.
3. Per no haver d’escriure cel·la per cel·la, obre Escriu o enganxa com a text, enganxa les files (d’un full de càlcul, d’un document o d’una llista [[1, 2], [3, 4]]) i prem Omple la quadrícula.
4. El resultat s’actualitza mentre escrius; Calcula fa el mateix. Intercanvia A i B intercanvia les dues matrius, Exemple carrega un exemple 3 × 3 i Esborra buida les dues quadrícules.
5. Llegeix el resultat i després obre la llista Pas a pas que hi ha a sota per seguir-ne el desenvolupament. Mostra els decimals canvia la visualització de fraccions a decimals, Fes servir el resultat com a A et permet encadenar operacions (per exemple, invertir i després multiplicar) i Copia copia el resultat com a files separades per tabuladors que pots enganxar en un full de càlcul.

Tota l’aritmètica es fa amb fraccions exactes, mai amb números en coma flotant arrodonits. La inversa de [[4, 7], [2, 6]] es mostra com [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]], no com 0,6000000001.

Què fa cada operació

• Suma i resta es fan element a element i necessiten dues matrius de la mateixa mida.
• Producte A × B necessita tantes columnes a A com files a B: una matriu m × n per una matriu n × p dona una matriu m × p. Cada element és una fila d’A per una columna de B, i els passos escriuen cadascuna d’aquestes sumes, com c₁₁ = 1 × 5 + 2 × 7 = 19. Recorda que A × B i B × A normalment són diferents.
• Determinant: les matrius 2 × 2 fan servir ad − bc, les 3 × 3 el desenvolupament per cofactors per la primera fila (amb cada menor a la vista), i les matrius més grans es redueixen a forma triangular amb operacions de files. El determinant és aleshores el producte de la diagonal, amb un canvi de signe per cada intercanvi de files.
• Inversa: eliminació de Gauss–Jordan sobre la matriu ampliada [A | I]. Cada pas llista les operacions de files, com F2 → F2 − 3F1, amb la matriu resultant. Quan el bloc de l’esquerra passa a ser la identitat, el bloc de la dreta és A⁻¹. Si falta un pivot, la matriu és singular i no té inversa.
• Rang i RREF: la mateixa eliminació sobre A sola. El rang és el nombre de pivots, i els passos diuen en quines columnes són.
• Potència Aⁿ fa servir quadrats successius, de manera que A¹⁰⁰ només necessita unes quantes multiplicacions. A⁰ és la identitat i els exponents negatius fan servir la inversa.
• Productes escalar i vectorial tracten una sola fila o una sola columna com un vector. El producte vectorial necessita 3 components.

Valors propis: exactes i aproximats

L’eina calcula primer el polinomi característic det(λI − A) de manera exacta, amb el mètode de Faddeev–LeVerrier. Per a una matriu 2 × 2, els valors propis surten de la fórmula de l’equació de segon grau i continuen sent exactes, incloses les arrels quadrades i els valors complexos: [[1, 1], [1, 0]] dona 1/2 ± √5/2. Per a matrius 3 × 3 i més grans, les arrels es troben numèricament amb l’algorisme QR amb desplaçament. Qualsevol arrel que sigui una fracció simple es comprova després de manera exacta al polinomi i es mostra sense el signe ≈. Les altres són aproximacions, amb una precisió d’unes 8 xifres significatives, i es marquen amb ≈. Els vectors propis no es calculen.