Калкулатор за матрици

Как да използвате калкулатора за матрици

1. Изберете Действие: A + B (събиране), A − B (изваждане), A × B (умножение), k × A (умножение по число), Транспонирана на A, Детерминанта на A, Обратна на A, Ранг на A, Редуциран стъпаловиден вид (RREF) на A, Степен Aⁿ, Собствени стойности на A или скаларно и векторно произведение на два вектора.
2. Задайте размера на Матрица A с Редове и Стълбове (от 1 до 6), после въведете елементите в таблицата. Приемат се цели числа, десетични числа като 2.5 и дроби като -3/4, а празна клетка се брои за 0. Матрица B се появява само при действия, които я изискват.
3. За да не пишете клетка по клетка, отворете Въведете или поставете като текст, поставете редовете (от електронна таблица, документ или списък [[1, 2], [3, 4]]) и натиснете Попълни таблицата.
4. Резултатът се обновява по време на въвеждането; Изчисли прави същото. Размени A и B разменя двете матрици, Пример зарежда пример 3 × 3, а Изчисти изпразва двете таблици.
5. Прочетете резултата, после отворете списъка Стъпка по стъпка под него, за да проследите изчислението. Покажи десетични числа превключва показването от дроби към десетични числа, Ползвай резултата като A ви позволява да свързвате действия (например обръщане, а после умножение), а Копирай копира резултата като редове, разделени с табулации, които можете да поставите в електронна таблица.

Цялата аритметика се извършва с точни дроби, никога със закръглени числа с плаваща запетая. Обратната на [[4, 7], [2, 6]] се показва като [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]], а не като 0,6000000001.

Какво прави всяко действие

• Събирането и изваждането работят елемент по елемент и изискват две матрици с еднакъв размер.
• Умножението A × B изисква толкова стълба в A, колкото реда има в B: матрица m × n по матрица n × p дава матрица m × p. Всеки елемент е ред на A по стълб на B, а стъпките изписват всяка от тези суми, например c₁₁ = 1 × 5 + 2 × 7 = 19. Не забравяйте, че A × B и B × A обикновено са различни.
• Детерминанта: матриците 2 × 2 ползват ad − bc, матриците 3 × 3 ползват развитие по първия ред (с показан всеки минор), а по-големите матрици се свеждат до триъгълен вид чрез действия върху редовете. Детерминантата е тогава произведението на диагонала със смяна на знака по веднъж за всяка размяна на редове.
• Обратна матрица: елиминация на Гаус–Жордан върху разширената матрица [A | I]. Всяка стъпка изброява действията върху редовете, например Р2 → Р2 − 3Р1, с матрицата след тях. Когато лявата част стане единична, дясната е A⁻¹. Ако липсва водещ елемент, матрицата е изродена и няма обратна.
• Ранг и RREF: същата елиминация само върху A. Рангът е броят на водещите елементи, а стъпките казват в кои стълбове се намират.
• Степен Aⁿ ползва многократно повдигане на квадрат, така че A¹⁰⁰ изисква само шепа умножения. A⁰ е единичната матрица, а отрицателните показатели ползват обратната.
• Скаларното и векторното произведение третират един ред или един стълб като вектор. Векторното произведение изисква 3 компонента.

Собствени стойности: точни и приблизителни

Инструментът първо изчислява характеристичния полином det(λI − A) точно, по метода на Фадеев–Льоверие. За матрица 2 × 2 собствените стойности идват от формулата за квадратно уравнение и остават точни, включително с квадратни корени и комплексни стойности: [[1, 1], [1, 0]] дава 1/2 ± √5/2. За матрици 3 × 3 и по-големи корените се намират числено с QR алгоритъм с отмествания. Всеки корен, който е проста дроб, след това се проверява точно в полинома и се показва без знака ≈. Останалите са приближения, точни до около 8 значещи цифри, и са отбелязани с ≈. Собствените вектори не се изчисляват.