Calculatrice de matrices

Comment utiliser cette calculatrice de matrices

1. Choisissez l’Opération : A + B (somme), A − B (différence), A × B (produit), k × A (multiplication par un scalaire), Transposée de A, Déterminant de A, Inverse de A, Rang de A, Forme échelonnée réduite de A, Puissance Aⁿ, Valeurs propres de A, ou encore le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs.
2. Réglez la taille de la Matrice A avec Lignes et Colonnes (de 1 à 6), puis remplissez la grille. Les entiers, les décimaux comme 2,5 et les fractions comme -3/4 sont acceptés ; une case vide vaut 0. La Matrice B n’apparaît que pour les opérations qui en ont besoin.
3. Pour ne pas saisir case par case, ouvrez Saisir ou coller en texte, collez les lignes (depuis un tableur, un document ou une liste [[1, 2], [3, 4]]) et cliquez sur Remplir la grille.
4. Le résultat se met à jour pendant la saisie ; le bouton Calculer fait de même. Échanger A et B permute les deux matrices, Exemple charge un exemple 3 × 3 et Effacer vide les grilles.
5. Lisez le résultat, puis suivez le Calcul détaillé. Afficher en décimal remplace les fractions par des valeurs décimales, Reprendre le résultat dans A permet d’enchaîner les opérations (inverser puis multiplier, par exemple) et Copier copie le résultat sous forme de lignes séparées par des tabulations, prêtes à coller dans un tableur.

Tous les calculs se font en fractions exactes, jamais en nombres à virgule arrondis. L’inverse de [[4, 7], [2, 6]] s’affiche [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]], et non 0,6000000001.

Ce que fait chaque opération

• Somme et différence : coefficient par coefficient, sur deux matrices de même taille.
• Produit A × B : il faut autant de colonnes dans A que de lignes dans B. Une matrice m × n multipliée par une matrice n × p donne une matrice m × p. Chaque coefficient est le produit d’une ligne de A par une colonne de B ; le détail écrit chacune de ces sommes, par exemple c₁₁ = 1 × 5 + 2 × 7 = 19. Attention : en général, A × B est différent de B × A.
• Déterminant : formule ad − bc pour une matrice 2 × 2, développement selon la première ligne (avec chaque mineur) pour une 3 × 3, et pour les plus grandes, réduction à une forme triangulaire par opérations sur les lignes. Le déterminant est alors le produit des coefficients diagonaux, avec un changement de signe par échange de lignes.
• Inverse : méthode de Gauss-Jordan sur la matrice augmentée [A | I]. Chaque étape indique les opérations, notées L2 → L2 − 3L1, et la matrice obtenue. Quand le bloc de gauche devient l’identité, le bloc de droite est A⁻¹. S’il manque un pivot, la matrice n’est pas inversible.
• Rang et forme échelonnée réduite : la même élimination sur A seule. Le rang est le nombre de pivots, et le détail précise les colonnes où ils se trouvent.
• Puissance Aⁿ : exponentiation rapide par mises au carré successives, si bien que A¹⁰⁰ ne demande que quelques produits. A⁰ est l’identité ; un exposant négatif passe par l’inverse.
• Produit scalaire et produit vectoriel : une seule ligne ou une seule colonne est traitée comme un vecteur. Le produit vectoriel exige 3 composantes.

Valeurs propres : exactes ou approchées

L’outil calcule d’abord le polynôme caractéristique det(λI − A) de façon exacte, par la méthode de Faddeev-Le Verrier. Pour une matrice 2 × 2, les valeurs propres viennent de la résolution du second degré et restent exactes, racines carrées et nombres complexes compris : [[1, 1], [1, 0]] donne 1/2 ± √5/2. À partir de 3 × 3, les racines sont obtenues numériquement par l’algorithme QR avec décalages. Chaque racine qui est une fraction simple est alors vérifiée exactement dans le polynôme et affichée sans le signe ≈. Les autres sont des approximations précises à environ 8 chiffres significatifs, signalées par ≈. Les vecteurs propres ne sont pas calculés.