Matrisräknare

Så här använder du matrisräknaren

1. Välj en Räkneoperation: A + B (addition), A − B (subtraktion), A × B (multiplikation), k × A (skalär multipel), Transponat av A, Determinant av A, Invers av A, Rang av A, Reducerad trappstegsform (RREF) av A, Potens Aⁿ, Egenvärden till A, eller skalär- och vektorprodukt av två vektorer.
2. Ställ in storleken på Matris A med Rader och Kolumner (från 1 till 6) och skriv sedan elementen i rutnätet. Heltal, decimaltal som 2,5 och bråk som -3/4 fungerar, och en tom ruta räknas som 0. Matris B visas bara för operationer som behöver den.
3. För att slippa skriva ruta för ruta öppnar du Skriv eller klistra in som text, klistrar in raderna (från ett kalkylblad, ett dokument eller en lista som [[1, 2], [3, 4]]) och klickar på Fyll rutnätet.
4. Resultatet uppdateras medan du skriver. Beräkna gör samma sak. Byt plats på A och B byter de två matriserna, Exempel laddar ett 3 × 3-exempel och Rensa tömmer båda rutnäten.
5. Läs resultatet och öppna sedan listan Steg för steg under det för att följa uträkningen. Visa decimaler växlar visningen från bråk till decimaltal, Använd resultatet som A låter dig kedja operationer (till exempel invertera och sedan multiplicera) och Kopiera kopierar resultatet som tabbseparerade rader som du kan klistra in i ett kalkylblad.

All räkning görs med exakta bråk, aldrig med avrundade flyttal. Inversen av [[4, 7], [2, 6]] visas som [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]], inte som 0,6000000001.

Vad varje operation gör

• Addition och subtraktion sker element för element och kräver två matriser av samma storlek.
• Multiplikation A × B kräver lika många kolumner i A som rader i B: en m × n-matris gånger en n × p-matris ger en m × p-matris. Varje element är en rad i A gånger en kolumn i B, och stegen skriver ut varje sådan summa, till exempel c₁₁ = 1 × 5 + 2 × 7 = 19. Kom ihåg att A × B och B × A oftast är olika.
• Determinant: 2 × 2-matriser använder ad − bc, 3 × 3-matriser använder kofaktorutveckling längs första raden (med varje minor visad) och större matriser reduceras till triangulär form med radoperationer. Determinanten är sedan produkten av diagonalen, med ett teckenbyte per radbyte.
• Invers: Gauss–Jordan-elimination på den utvidgade matrisen [A | I]. Varje steg listar radoperationerna, som R2 → R2 − 3R1, med matrisen efter dem. När vänstra blocket blir enhetsmatrisen är högra blocket A⁻¹. Om ett pivotelement saknas är matrisen singulär och saknar invers.
• Rang och RREF: samma elimination på enbart A. Rangen är antalet pivotelement, och stegen anger vilka kolumner som innehåller dem.
• Potens Aⁿ använder upprepad kvadrering, så A¹⁰⁰ kräver bara en handfull multiplikationer. A⁰ är enhetsmatrisen och negativa exponenter använder inversen.
• Skalär- och vektorprodukt behandlar en enda rad eller en enda kolumn som en vektor. Vektorprodukten kräver 3 komponenter.

Egenvärden: exakta och approximativa

Verktyget beräknar först det karakteristiska polynomet det(λI − A) exakt, med Faddeev–LeVerriers metod. För en 2 × 2-matris kommer egenvärdena från lösningsformeln för andragradsekvationer och förblir exakta, inklusive kvadratrötter och komplexa värden: [[1, 1], [1, 0]] ger 1/2 ± √5/2. För 3 × 3-matriser och större hittas rötterna numeriskt med den förskjutna QR-algoritmen. Varje rot som är ett enkelt bråk kontrolleras sedan exakt i polynomet och visas utan tecknet ≈. De andra är approximationer, noggranna till cirka 8 värdesiffror, och markeras med ≈. Egenvektorer beräknas inte.