حاسبة المصفوفات

كيفية استخدام حاسبة المصفوفات

1. اختر العملية: A + B (الجمع)، أو A − B (الطرح)، أو A × B (الضرب)، أو k × A (الضرب في عدد)، أو منقول A، أو محدد A، أو معكوس A، أو رتبة A، أو الصورة الدرجية المختزلة (RREF) لـ A، أو القوة Aⁿ، أو القيم الذاتية لـ A، أو الضرب القياسي والضرب الاتجاهي لمتجهين.
2. حدّد حجم المصفوفة A عبر الصفوف والأعمدة (من 1 إلى 6)، ثم اكتب العناصر في الشبكة. تُقبل الأعداد الصحيحة والعشرية مثل 2.5 والكسور مثل -3/4، والخلية الفارغة تُحسب 0. ولا تظهر المصفوفة B إلا في العمليات التي تحتاجها.
3. لتجنّب الكتابة خلية خلية، افتح اكتب أو الصق نصًا، والصق الصفوف (من جدول بيانات أو مستند أو قائمة مثل [[1, 2], [3, 4]]) ثم اضغط املأ الشبكة. ويمكنك أيضًا الفصل بين العناصر بالفاصلة العربية «،» وبين الصفوف بالفاصلة المنقوطة «؛».
4. تتحدّث النتيجة أثناء الكتابة، ويؤدي زر احسب الشيء نفسه. يبادل زر تبديل A وB بين المصفوفتين، ويحمّل زر مثال مصفوفة 3 × 3، ويفرّغ زر مسح الشبكتين.
5. اقرأ النتيجة، ثم افتح قائمة خطوة بخطوة أسفلها لتتبّع الحل. يحوّل خيار عرض الأعداد العشرية العرض من الكسور إلى الأعداد العشرية، ويتيح زر استخدم النتيجة بوصفها A تسلسل العمليات (كأن تعكس ثم تضرب)، وينسخ زر نسخ النتيجة صفوفًا مفصولة بعلامات جدولة يمكنك لصقها في جدول بيانات.

تُجرى كل العمليات الحسابية بكسور دقيقة، لا بأعداد فاصلة عائمة مقرّبة. فمعكوس [[4, 7], [2, 6]] يظهر على الصورة [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]]، لا على صورة 0.6000000001. وتُكتب المصفوفات والصيغ من اليسار إلى اليمين، ويُرمز إلى الصفوف بـ R1 وR2… كما في معظم المراجع الجامعية.

ماذا تفعل كل عملية

• الجمع والطرح يتمّان عنصرًا بعنصر، ويتطلبان مصفوفتين بالحجم نفسه.
• الضرب A × B يتطلب أن يساوي عدد أعمدة A عدد صفوف B: مصفوفة m × n في مصفوفة n × p تعطي مصفوفة m × p. كل عنصر هو صف من A في عمود من B، وتكتب الخطوات كل هذه المجاميع، مثل c₁₁ = 1 × 5 + 2 × 7 = 19. وتذكّر أن A × B وB × A تختلفان في الغالب.
• المحدد: تستخدم المصفوفات 2 × 2 القانون ad − bc، والمصفوفات 3 × 3 النشر بالعوامل المرافقة على الصف الأول (مع عرض كل محدد أصغر)، أما المصفوفات الأكبر فتُختزل إلى صورة مثلثية بعمليات الصفوف. ويكون المحدد حينها حاصل ضرب عناصر القطر، مع تغيير الإشارة مرة عن كل تبديل صفوف.
• المعكوس: حذف جاوس–جوردان على المصفوفة الموسّعة [A | I]. تعرض كل خطوة عمليات الصفوف، مثل R2 → R2 − 3R1، مع المصفوفة بعدها. وعندما تصبح الكتلة اليسرى مصفوفة الوحدة، تكون الكتلة اليمنى هي A⁻¹. وإذا نقص محور، فالمصفوفة شاذة وليس لها معكوس.
• الرتبة والصورة الدرجية المختزلة: الحذف نفسه على A وحدها. الرتبة هي عدد المحاور، وتذكر الخطوات الأعمدة التي تحتويها.
• القوة Aⁿ تستخدم التربيع المتكرر، فلا يتطلب A¹⁰⁰ إلا عددًا قليلًا من عمليات الضرب. وA⁰ هي مصفوفة الوحدة، والأسس السالبة تستخدم المعكوس.
• الضرب القياسي والاتجاهي يعاملان الصف الواحد أو العمود الواحد على أنه متجه. ويتطلب الضرب الاتجاهي 3 مركّبات.

القيم الذاتية: دقيقة وتقريبية

تحسب الأداة أولًا كثيرة الحدود المميزة det(λI − A) بدقة، بطريقة فاديف–لوفيرييه. في المصفوفة 2 × 2 تأتي القيم الذاتية من قانون المعادلة التربيعية وتبقى دقيقة، بما فيها الجذور التربيعية والقيم المركبة: [[1, 1], [1, 0]] تعطي 1/2 ± √5/2. وفي المصفوفات 3 × 3 وما فوقها تُوجد الجذور عدديًا بخوارزمية QR مع الإزاحة. وأي جذر يكون كسرًا بسيطًا يُتحقَّق منه بدقة في كثيرة الحدود ويُعرض دون العلامة ≈. أما البقية فتقريبات دقيقة إلى نحو 8 أرقام معنوية، وتُعلَّم بـ ≈. ولا تحسب الأداة المتجهات الذاتية.