Mátrixszámoló

Hogyan használd a mátrixszámolót

1. Válassz Művelet értéket: A + B (összeadás), A − B (kivonás), A × B (szorzás), k × A (skalárral szorzás), A transzponáltja, A determinánsa, A inverze, A rangja, A redukált lépcsős alakja (RREF), Hatvány Aⁿ, A sajátértékei, vagy két vektor skaláris és vektoriális szorzata.
2. Állítsd be az A mátrix méretét a Sorok és Oszlopok mezőben (1-től 6-ig), majd írd be a bejegyzéseket a rácsba. Egész számok, tizedestörtek (például 2,5) és törtek (például -3/4) is elfogadottak, az üres cella pedig 0-nak számít. A B mátrix csak azoknál a műveleteknél jelenik meg, amelyekhez kell.
3. Ha nem akarsz cellánként gépelni, nyisd meg a Beírás vagy beillesztés szövegként részt, illeszd be a sorokat (táblázatból, dokumentumból vagy [[1, 2], [3, 4]] listából), és nyomd meg a Rács kitöltése gombot. A bejegyzéseket szóközzel vagy tabulátorral válaszd el: ezen az oldalon a vessző tizedesvessző, csak a szögletes zárójelek között választ el bejegyzéseket.
4. Az eredmény gépelés közben frissül; a Számítás gomb ugyanezt teszi. Az A és B cseréje felcseréli a két mátrixot, a Példa egy 3 × 3-as példát tölt be, a Törlés pedig mindkét rácsot kiüríti.
5. Olvasd le az eredményt, majd nyisd meg alatta a Lépésről lépésre listát a levezetéshez. A Tizedes alak mutatása törtekről tizedesekre váltja a megjelenítést, Az eredmény használata A-ként lehetővé teszi a műveletek láncolását (például invertálás, majd szorzás), a Másolás pedig az eredményt tabulátorral elválasztott sorokként másolja, amelyeket táblázatba illeszthetsz.

Minden számítás pontos törtekkel történik, soha nem kerekített lebegőpontos számokkal. A [[4, 7], [2, 6]] inverze [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]] alakban jelenik meg, nem 0,6000000001-ként.

Mit csinálnak az egyes műveletek

• Az összeadás és kivonás bejegyzésenként működik, és két azonos méretű mátrixot igényel.
• A szorzáshoz (A × B) az A oszlopainak számának egyeznie kell a B sorainak számával: egy m × n-es mátrix szorozva egy n × p-s mátrixszal m × p-s mátrixot ad. Minden bejegyzés az A egy sorának és a B egy oszlopának szorzata, a lépések pedig kiírják mindegyik összeget, például c₁₁ = 1 × 5 + 2 × 7 = 19. Ne feledd, hogy az A × B és a B × A általában különbözik.
• Determináns: a 2 × 2-es mátrixoknál ad − bc, a 3 × 3-asoknál az első sor szerinti kifejtés (az aldeterminánsokkal együtt), a nagyobb mátrixokat pedig sorműveletekkel háromszög alakra hozza. A determináns ekkor a főátló szorzata, soronkénti cserénként egy előjelváltással.
• Inverz: Gauss–Jordan-elimináció a bővített [A | I] mátrixon. Minden lépés kiírja a sorműveleteket, például S2 → S2 − 3S1, és az utánuk kapott mátrixot. Ha a bal blokk egységmátrix lesz, a jobb blokk az A⁻¹. Ha hiányzik egy generáló elem, a mátrix szinguláris, és nincs inverze.
• Rang és RREF: ugyanaz az elimináció csak az A mátrixon. A rang a generáló elemek száma, a lépések pedig megmondják, melyik oszlopokban vannak.
• A Hatvány Aⁿ ismételt négyzetre emelést használ, így az A¹⁰⁰ csak maroknyi szorzást igényel. Az A⁰ az egységmátrix, a negatív kitevők pedig az inverzet használják.
• A skaláris és vektoriális szorzat egyetlen sort vagy oszlopot vektorként kezel. A vektoriális szorzathoz 3 koordináta kell.

Sajátértékek: pontosan és közelítve

Az eszköz először pontosan kiszámítja a karakterisztikus polinomot, det(λI − A), a Faddeev–LeVerrier-módszerrel. Egy 2 × 2-es mátrixnál a sajátértékek a megoldóképletből adódnak, és pontosak maradnak, a gyökjeleket és a komplex értékeket is beleértve: a [[1, 1], [1, 0]] eredménye 1/2 ± √5/2. 3 × 3-as és nagyobb mátrixoknál a gyököket eltolt QR-algoritmussal számolja numerikusan. Az egyszerű tört alakú gyököket ezután pontosan ellenőrzi a polinomban, és ≈ jel nélkül mutatja. A többi közelítés, kb. 8 értékes jegy pontossággal, és ≈ jelöli. A sajátvektorokat nem számolja ki.