Kalkulačka matíc

Ako používať kalkulačku matíc

1. Vyber Operáciu: A + B (sčítanie), A − B (odčítanie), A × B (násobenie), k × A (skalárny násobok), Transpozícia matice A, Determinant matice A, Inverzná matica k A, Hodnosť matice A, Redukovaný stupňovitý tvar (RREF) matice A, Mocnina Aⁿ, Vlastné čísla matice A alebo skalárny a vektorový súčin dvoch vektorov.
2. Nastav veľkosť Matice A pomocou Riadkov a Stĺpcov (od 1 do 6) a potom zadaj položky do mriežky. Akceptujú sa celé čísla, desatinné čísla ako 2,5 a zlomky ako -3/4 a prázdna bunka sa počíta ako 0. Matica B sa zobrazí len pri operáciách, ktoré ju potrebujú.
3. Aby si nemusel písať bunku po bunke, otvor Zadať alebo vložiť ako text, vlož riadky (z tabuľky, dokumentu alebo zoznamu [[1, 2], [3, 4]]) a stlač Vyplniť mriežku.
4. Výsledok sa prepočítava pri písaní; rovnaký výsledok dá aj Vypočítať. Vymeniť A a B vymení obe matice, Príklad načíta príklad 3 × 3 a Vymazať vyprázdni obe mriežky.
5. Prečítaj si výsledok a potom otvor zoznam Postup krok za krokom pod ním, aby si sledoval výpočet. Zobraziť desatinné čísla prepne zobrazenie zo zlomkov na desatinné čísla, Použiť výsledok ako A umožňuje reťaziť operácie (napríklad invertovať a potom násobiť) a Kopírovať skopíruje výsledok ako riadky oddelené tabulátormi, ktoré môžeš vložiť do tabuľky.

Všetka aritmetika sa robí s presnými zlomkami, nikdy so zaokrúhlenými číslami s pohyblivou desatinnou čiarkou. Inverzná matica k [[4, 7], [2, 6]] sa zobrazí ako [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]], nie ako 0,6000000001.

Čo robí každá operácia

• Sčítanie a odčítanie prebieha položku po položke a vyžaduje dve matice rovnakej veľkosti.
• Násobenie A × B vyžaduje, aby A malo toľko stĺpcov, koľko riadkov má B: matica m × n krát matica n × p dáva maticu m × p. Každá položka je riadok z A krát stĺpec z B a postup rozpisuje každý z týchto súčtov, napríklad c₁₁ = 1 × 5 + 2 × 7 = 19. Pamätaj, že A × B a B × A sú zvyčajne rôzne.
• Determinant: matice 2 × 2 používajú ad − bc, matice 3 × 3 rozvoj podľa prvého riadka (s ukázaným každým minorom) a väčšie matice sa riadkovými úpravami upravia na trojuholníkový tvar. Determinant je potom súčin prvkov na uhlopriečke, s jednou zmenou znamienka za každú výmenu riadkov.
• Inverzná matica: Gaussova–Jordanova eliminácia na rozšírenej matici [A | I]. Každý krok uvádza riadkové úpravy, napríklad R2 → R2 − 3R1, s maticou po nich. Keď sa ľavý blok stane jednotkovou maticou, pravý blok je A⁻¹. Ak chýba pivot, matica je singulárna a inverznú nemá.
• Hodnosť a RREF: tá istá eliminácia na samotnej matici A. Hodnosť je počet pivotov a postup uvádza, v ktorých stĺpcoch sa nachádzajú.
• Mocnina Aⁿ používa opakované umocňovanie na druhú, takže A¹⁰⁰ vyžaduje len hŕstku násobení. A⁰ je jednotková matica a záporné exponenty používajú inverznú maticu.
• Skalárny a vektorový súčin berú jediný riadok alebo jediný stĺpec ako vektor. Vektorový súčin vyžaduje 3 zložky.

Vlastné čísla: presné a približné

Nástroj najprv presne vypočíta charakteristický polynóm det(λI − A) metódou Faddeeva a Le Verriera. Pri matici 2 × 2 vlastné čísla vychádzajú z riešenia kvadratickej rovnice a zostávajú presné, vrátane odmocnín a komplexných hodnôt: [[1, 1], [1, 0]] dá 1/2 ± √5/2. Pri maticiach 3 × 3 a väčších sa korene hľadajú numericky posunutým algoritmom QR. Každý koreň, ktorý je jednoduchým zlomkom, sa potom presne overí v polynóme a zobrazí bez znaku ≈. Ostatné sú aproximácie, presné na približne 8 platných číslic, a sú označené ≈. Vlastné vektory sa nepočítajú.