Matrizenrechner

So verwenden Sie den Matrizenrechner

1. Wählen Sie eine Operation: A + B (Addition), A − B (Subtraktion), A × B (Multiplikation), k × A (skalares Vielfaches), Transponierte von A, Determinante von A, Inverse von A, Rang von A, Reduzierte Zeilenstufenform (RREF) von A, Potenz Aⁿ, Eigenwerte von A oder das Skalar- und Kreuzprodukt zweier Vektoren.
2. Legen Sie die Größe von Matrix A über Zeilen und Spalten fest (1 bis 6) und tragen Sie die Einträge in das Raster ein. Ganze Zahlen, Dezimalzahlen wie 2,5 und Brüche wie -3/4 sind erlaubt; eine leere Zelle zählt als 0. Matrix B erscheint nur bei Operationen, die sie brauchen.
3. Statt Zelle für Zelle zu tippen, öffnen Sie Als Text eingeben oder einfügen, fügen die Zeilen ein (aus einer Tabellenkalkulation, einem Dokument oder als Liste [[1, 2], [3, 4]]) und klicken auf Raster füllen. Trennen Sie die Einträge durch Leerzeichen oder Tabulatoren: Auf dieser Seite gilt ein Komma als Dezimalkomma, nur innerhalb der eckigen Klammern trennt es Einträge.
4. Das Ergebnis aktualisiert sich während der Eingabe; Berechnen bewirkt dasselbe. A und B tauschen vertauscht die beiden Matrizen, Beispiel lädt ein 3 × 3-Beispiel und Leeren löscht beide Raster.
5. Lesen Sie das Ergebnis ab und öffnen Sie darunter den Rechenweg, um die Rechnung nachzuvollziehen. Dezimalzahlen anzeigen schaltet von Brüchen auf Dezimalzahlen um, Ergebnis als A verwenden erlaubt verkettete Rechnungen (zum Beispiel erst invertieren, dann multiplizieren), und Kopieren kopiert das Ergebnis als tabulatorgetrennte Zeilen, die Sie direkt in eine Tabelle einfügen können.

Gerechnet wird immer mit exakten Brüchen, nie mit gerundeten Gleitkommazahlen. Die Inverse von [[4, 7], [2, 6]] erscheint als [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]] und nicht als 0,6000000001.

Was die einzelnen Operationen tun

• Addition und Subtraktion arbeiten Eintrag für Eintrag und benötigen zwei gleich große Matrizen.
• Multiplikation A × B setzt voraus, dass A so viele Spalten hat wie B Zeilen: Eine m × n-Matrix mal eine n × p-Matrix ergibt eine m × p-Matrix. Jeder Eintrag ist eine Zeile von A mal eine Spalte von B, und der Rechenweg schreibt jede dieser Summen aus, etwa c₁₁ = 1 × 5 + 2 × 7 = 19. Denken Sie daran: A × B und B × A sind in der Regel verschieden.
• Determinante: 2 × 2-Matrizen nutzen ad − bc, 3 × 3-Matrizen die Laplace-Entwicklung nach der ersten Zeile (mit jedem Minor), größere Matrizen werden durch Zeilenumformungen auf Dreiecksform gebracht. Die Determinante ist dann das Produkt der Diagonale, mit einem Vorzeichenwechsel pro Zeilentausch.
• Inverse: Gauß-Jordan-Verfahren auf der erweiterten Matrix [A | I]. Jeder Schritt nennt die Zeilenumformungen, etwa Z2 → Z2 − 3Z1, samt der Matrix danach. Sobald der linke Block zur Einheitsmatrix geworden ist, steht rechts A⁻¹. Fehlt ein Pivotelement, ist die Matrix singulär und hat keine Inverse.
• Rang und RREF: dieselbe Elimination, nur auf A allein. Der Rang ist die Anzahl der Pivotelemente, und der Rechenweg nennt die Spalten, in denen sie stehen.
• Potenz Aⁿ nutzt wiederholtes Quadrieren, sodass A¹⁰⁰ nur eine Handvoll Multiplikationen braucht. A⁰ ist die Einheitsmatrix, negative Exponenten verwenden die Inverse.
• Skalar- und Kreuzprodukt behandeln eine einzelne Zeile oder eine einzelne Spalte als Vektor. Das Kreuzprodukt benötigt 3 Komponenten.

Eigenwerte: exakt und näherungsweise

Das Tool berechnet zuerst exakt das charakteristische Polynom det(λI − A) mit dem Faddejew-LeVerrier-Verfahren. Bei einer 2 × 2-Matrix folgen die Eigenwerte aus der Mitternachtsformel und bleiben exakt, auch mit Wurzeln und komplexen Werten: [[1, 1], [1, 0]] ergibt 1/2 ± √5/2. Ab 3 × 3 werden die Nullstellen numerisch mit dem QR-Algorithmus mit Shift bestimmt. Jede Nullstelle, die ein einfacher Bruch ist, wird anschließend exakt im Polynom geprüft und ohne ≈ angezeigt. Die übrigen sind Näherungen mit etwa 8 signifikanten Stellen und mit ≈ gekennzeichnet. Eigenvektoren werden nicht berechnet.