Matrisekalkulator

Slik bruker du matrisekalkulatoren

1. Velg en Operasjon: A + B (addisjon), A − B (subtraksjon), A × B (multiplikasjon), k × A (skalarmultiplum), Transponert av A, Determinanten til A, Inversen til A, Rangen til A, Redusert trappeform (RREF) av A, Potens Aⁿ, Egenverdier til A, eller skalar- og kryssprodukt av to vektorer.
2. Sett størrelsen på Matrise A med Rader og Kolonner (fra 1 til 6), og skriv deretter elementene i rutenettet. Hele tall, desimaltall som 2.5 og brøker som -3/4 godtas, og en tom celle regnes som 0. Matrise B vises bare for operasjoner som trenger den.
3. For å slippe å skrive celle for celle åpner du Skriv eller lim inn som tekst, limer inn radene (fra et regneark, et dokument eller en liste som [[1, 2], [3, 4]]) og trykker Fyll rutenettet.
4. Resultatet oppdateres mens du skriver, og Beregn gjør det samme. Bytt A og B bytter de to matrisene, Eksempel laster inn et 3 × 3-eksempel og Tøm fjerner begge rutenettene.
5. Les resultatet, og åpne deretter listen Steg for steg under for å følge utregningen. Vis desimaltall bytter visningen fra brøker til desimaltall, Bruk resultatet som A lar deg kjede operasjoner (for eksempel invertere og så multiplisere), og Kopier kopierer resultatet som tabulatorskilte rader du kan lime inn i et regneark.

All regning gjøres med eksakte brøker, aldri med avrundede flyttall. Inversen til [[4, 7], [2, 6]] vises som [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]], ikke som 0.6000000001.

Hva hver operasjon gjør

• Addisjon og subtraksjon utføres element for element og krever to matriser av samme størrelse.
• Multiplikasjon A × B krever like mange kolonner i A som rader i B: en m × n-matrise ganger en n × p-matrise gir en m × p-matrise. Hvert element er en rad i A ganger en kolonne i B, og stegene skriver ut hver av disse summene, som c₁₁ = 1 × 5 + 2 × 7 = 19. Husk at A × B og B × A vanligvis er ulike.
• Determinant: 2 × 2-matriser bruker ad − bc, 3 × 3-matriser bruker kofaktorutvikling langs første rad (med hver minor vist), og større matriser reduseres til triangulær form med radoperasjoner. Determinanten er da produktet av diagonalen, med ett fortegnsskifte per radbytte.
• Invers: Gauss–Jordan-eliminasjon på den utvidede matrisen [A | I]. Hvert steg lister radoperasjonene, som R2 → R2 − 3R1, med matrisen etter dem. Når den venstre blokken blir identitetsmatrisen, er den høyre blokken A⁻¹. Hvis en pivot mangler, er matrisen singulær og har ingen invers.
• Rang og RREF: samme eliminasjon på A alene. Rangen er antall pivoter, og stegene sier hvilke kolonner som inneholder dem.
• Potens Aⁿ bruker gjentatt kvadrering, så A¹⁰⁰ krever bare en håndfull multiplikasjoner. A⁰ er identitetsmatrisen, og negative eksponenter bruker inversen.
• Skalar- og kryssprodukt behandler en enkelt rad eller en enkelt kolonne som en vektor. Kryssproduktet krever 3 komponenter.

Egenverdier: eksakte og tilnærmede

Verktøyet regner først ut det karakteristiske polynomet det(λI − A) eksakt, med Faddeev–LeVerrier-metoden. For en 2 × 2-matrise kommer egenverdiene fra andregradsformelen og forblir eksakte, også med kvadratrøtter og komplekse verdier: [[1, 1], [1, 0]] gir 1/2 ± √5/2. For 3 × 3-matriser og større finnes røttene numerisk med QR-algoritmen med skift. Hver rot som er en enkel brøk, kontrolleres deretter eksakt i polynomet og vises uten ≈-tegn. De andre er tilnærminger, nøyaktige til omtrent 8 gjeldende sifre, og er merket ≈. Egenvektorer beregnes ikke.