Calculadora de matrices

Cómo usar la calculadora de matrices

1. Elige una Operación: A + B (suma), A − B (resta), A × B (multiplicación), k × A (producto por un escalar), Traspuesta de A, Determinante de A, Inversa de A, Rango de A, Forma escalonada reducida (RREF) de A, Potencia Aⁿ, Valores propios de A, o el producto escalar y el producto vectorial de dos vectores.
2. Fija el tamaño de la Matriz A con Filas y Columnas (de 1 a 6) y escribe los elementos en la cuadrícula. Se aceptan enteros, decimales como 2,5 y fracciones como -3/4, y una celda vacía cuenta como 0. La Matriz B solo aparece en las operaciones que la necesitan.
3. Para no escribir celda a celda, abre Escribir o pegar como texto, pega las filas (desde una hoja de cálculo, un documento o una lista [[1, 2], [3, 4]]) y pulsa Rellenar la cuadrícula.
4. El resultado se actualiza mientras escribes; Calcular hace lo mismo. Intercambiar A y B intercambia las dos matrices, Ejemplo carga un ejemplo 3 × 3 y Borrar vacía ambas cuadrículas.
5. Lee el resultado y despliega la lista Paso a paso para seguir el desarrollo. Mostrar decimales cambia la presentación de fracciones a decimales, Usar el resultado como A te permite encadenar operaciones (por ejemplo, invertir y luego multiplicar) y Copiar copia el resultado como filas separadas por tabulaciones, listas para pegar en una hoja de cálculo.

Todos los cálculos se hacen con fracciones exactas, nunca con números de coma flotante redondeados. La inversa de [[4, 7], [2, 6]] se muestra como [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]], y no como 0,6000000001.

Qué hace cada operación

• Suma y resta operan elemento a elemento y necesitan dos matrices del mismo tamaño.
• Multiplicación: A × B requiere que A tenga tantas columnas como filas tiene B; una matriz m × n por una n × p da una matriz m × p. Cada elemento es una fila de A por una columna de B, y los pasos escriben cada una de estas sumas, como c₁₁ = 1 × 5 + 2 × 7 = 19. Recuerda que A × B y B × A suelen ser distintas.
• Determinante: las matrices 2 × 2 usan ad − bc, las 3 × 3 el desarrollo por cofactores a lo largo de la primera fila (mostrando cada menor), y las más grandes se reducen a forma triangular con operaciones de fila. El determinante es entonces el producto de la diagonal, con un cambio de signo por cada intercambio de filas.
• Inversa: eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz ampliada [A | I]. Cada paso indica las operaciones de fila, como F2 → F2 − 3F1, con la matriz resultante. Cuando el bloque izquierdo se convierte en la identidad, el bloque derecho es A⁻¹. Si falta un pivote, la matriz es singular y no tiene inversa.
• Rango y RREF: la misma eliminación, pero solo sobre A. El rango es el número de pivotes, y los pasos indican en qué columnas están.
• Potencia Aⁿ usa elevaciones al cuadrado sucesivas, así que A¹⁰⁰ solo requiere unas pocas multiplicaciones. A⁰ es la identidad y los exponentes negativos usan la inversa.
• Productos escalar y vectorial: una sola fila o una sola columna se trata como un vector. El producto vectorial necesita 3 componentes.

Valores propios: exactos y aproximados

La herramienta calcula primero de forma exacta el polinomio característico det(λI − A) con el método de Faddeev-LeVerrier. En una matriz 2 × 2, los valores propios salen de la fórmula de la ecuación de segundo grado y se mantienen exactos, incluidas raíces cuadradas y valores complejos: [[1, 1], [1, 0]] da 1/2 ± √5/2. En matrices 3 × 3 o mayores, las raíces se hallan numéricamente con el algoritmo QR con desplazamientos. Cualquier raíz que sea una fracción sencilla se comprueba después de forma exacta en el polinomio y se muestra sin el signo ≈. Las demás son aproximaciones, precisas hasta unas 8 cifras significativas, y llevan el signo ≈. No se calculan los vectores propios.