Calculator de matrice

Cum folosești calculatorul de matrice

1. Alege o Operația: A + B (adunare), A − B (scădere), A × B (înmulțire), k × A (înmulțire cu un scalar), Transpusa lui A, Determinantul lui A, Inversa lui A, Rangul lui A, Forma eșalon redusă pe linii (RREF) a lui A, Puterea Aⁿ, Valorile proprii ale lui A sau produsul scalar și produsul vectorial a doi vectori.
2. Setează dimensiunea Matricea A cu Linii și Coloane (de la 1 la 6), apoi scrie elementele în grilă. Se acceptă numere întregi, zecimale precum 2,5 și fracții precum -3/4, iar o celulă goală se consideră 0. Matricea B apare doar pentru operațiile care au nevoie de ea.
3. Ca să nu scrii celulă cu celulă, deschide Scrie sau lipește ca text, lipește liniile (dintr-o foaie de calcul, dintr-un document sau dintr-o listă [[1, 2], [3, 4]]) și apasă Completează grila.
4. Rezultatul se actualizează pe măsură ce scrii; Calculează face același lucru. Schimbă A cu B schimbă între ele cele două matrice, Exemplu încarcă un exemplu 3 × 3, iar Șterge golește ambele grile.
5. Citește rezultatul, apoi deschide lista Pas cu pas de sub el ca să urmărești calculul. Arată zecimalele trece afișarea de la fracții la zecimale, Folosește rezultatul ca A îți permite să înlănțui operații (de exemplu, inversezi și apoi înmulțești), iar Copiază copiază rezultatul ca linii separate prin tabulator, pe care le poți lipi într-o foaie de calcul.

Toată aritmetica se face cu fracții exacte, niciodată cu numere în virgulă mobilă rotunjite. Inversa matricei [[4, 7], [2, 6]] se afișează ca [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]], nu ca 0,6000000001.

Ce face fiecare operație

• Adunarea și scăderea se fac element cu element și necesită două matrice de aceeași dimensiune.
• Înmulțirea A × B necesită atâtea coloane în A câte linii în B: o matrice m × n înmulțită cu o matrice n × p dă o matrice m × p. Fiecare element este o linie a lui A înmulțită cu o coloană a lui B, iar pașii scriu fiecare dintre aceste sume, precum c₁₁ = 1 × 5 + 2 × 7 = 19. Ține minte că A × B și B × A sunt de obicei diferite.
• Determinantul: matricele 2 × 2 folosesc ad − bc, matricele 3 × 3 folosesc dezvoltarea prin cofactori după prima linie (cu fiecare minor afișat), iar matricele mai mari sunt aduse la forma triunghiulară prin operații pe linii. Determinantul este apoi produsul diagonalei, cu o schimbare de semn la fiecare schimbare de linii.
• Inversa: eliminare Gauss–Jordan pe matricea extinsă [A | I]. Fiecare pas listează operațiile pe linii, precum L2 → L2 − 3L1, cu matricea rezultată. Când blocul din stânga devine matricea identitate, blocul din dreapta este A⁻¹. Dacă lipsește un pivot, matricea este singulară și nu are inversă.
• Rangul și RREF: aceeași eliminare, doar pe A. Rangul este numărul de pivoți, iar pașii spun în ce coloane se află.
• Puterea Aⁿ folosește ridicarea repetată la pătrat, așa că A¹⁰⁰ necesită doar câteva înmulțiri. A⁰ este matricea identitate, iar exponenții negativi folosesc inversa.
• Produsul scalar și produsul vectorial tratează o singură linie sau o singură coloană ca pe un vector. Produsul vectorial necesită 3 componente.

Valorile proprii: exacte și aproximative

Instrumentul calculează mai întâi exact polinomul caracteristic det(λI − A), cu metoda Faddeev–LeVerrier. Pentru o matrice 2 × 2, valorile proprii rezultă din formula ecuației de gradul al doilea și rămân exacte, inclusiv cu radicali și valori complexe: [[1, 1], [1, 0]] dă 1/2 ± √5/2. Pentru matrice 3 × 3 și mai mari, rădăcinile se află numeric cu algoritmul QR cu deplasare. Orice rădăcină care este o fracție simplă este apoi verificată exact în polinom și afișată fără semnul ≈. Celelalte sunt aproximări, precise la aproximativ 8 cifre semnificative, marcate cu ≈. Vectorii proprii nu se calculează.