Kalkulator macierzy

Jak korzystać z kalkulatora macierzy

1. Wybierz Działanie: A + B (dodawanie), A − B (odejmowanie), A × B (mnożenie), k × A (mnożenie przez skalar), Transpozycja A, Wyznacznik A, Macierz odwrotna do A, Rząd A, Zredukowana postać schodkowa (RREF) A, Potęga Aⁿ, Wartości własne A albo iloczyn skalarny lub wektorowy dwóch wektorów.
2. Ustaw wymiar Macierz A polami Wiersze i Kolumny (od 1 do 6), a potem wpisz elementy w siatkę. Akceptowane są liczby całkowite, ułamki dziesiętne, np. 2,5, i ułamki zwykłe, np. -3/4; pusta komórka oznacza 0. Macierz B pojawia się tylko przy działaniach, które jej wymagają.
3. Żeby nie wpisywać komórka po komórce, otwórz Wpisz lub wklej jako tekst, wklej wiersze (z arkusza kalkulacyjnego, dokumentu albo jako listę [[1, 2], [3, 4]]) i kliknij Wypełnij siatkę.
4. Wynik aktualizuje się podczas pisania; Oblicz robi to samo. Zamień A i B zamienia macierze miejscami, Przykład wczytuje przykład 3 × 3, a Wyczyść opróżnia obie siatki.
5. Odczytaj wynik, a potem rozwiń listę Krok po kroku, aby prześledzić obliczenia. Pokaż ułamki dziesiętne przełącza wyświetlanie z ułamków zwykłych na dziesiętne, Użyj wyniku jako A pozwala łączyć działania (np. odwrócić, a potem pomnożyć), a Kopiuj kopiuje wynik jako wiersze rozdzielone tabulatorami, gotowe do wklejenia do arkusza.

Cała arytmetyka odbywa się na dokładnych ułamkach, nigdy na zaokrąglonych liczbach zmiennoprzecinkowych. Macierz odwrotna do [[4, 7], [2, 6]] jest pokazywana jako [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]], a nie jako 0,6000000001.

Co robi każde działanie

• Dodawanie i odejmowanie wykonuje się element po elemencie; wymagają dwóch macierzy tego samego wymiaru.
• Mnożenie A × B wymaga, by A miała tyle kolumn, ile B ma wierszy: macierz m × n razy macierz n × p daje macierz m × p. Każdy element to wiersz A razy kolumna B, a kroki rozpisują każdą z tych sum, np. c₁₁ = 1 × 5 + 2 × 7 = 19. Pamiętaj, że A × B i B × A zwykle się różnią.
• Wyznacznik: dla macierzy 2 × 2 stosowany jest wzór ad − bc, dla 3 × 3 – rozwinięcie Laplace’a względem pierwszego wiersza (z każdym minorem), a większe macierze są sprowadzane do postaci trójkątnej operacjami na wierszach. Wyznacznik to wtedy iloczyn elementów przekątnej, ze zmianą znaku przy każdej zamianie wierszy.
• Macierz odwrotna: eliminacja Gaussa–Jordana na macierzy rozszerzonej [A | I]. Każdy krok wypisuje operacje na wierszach, np. W2 → W2 − 3W1, oraz macierz po ich wykonaniu. Gdy lewy blok staje się macierzą jednostkową, prawy blok to A⁻¹. Jeśli brakuje elementu głównego, macierz jest osobliwa i nie ma odwrotnej.
• Rząd i RREF: ta sama eliminacja na samej macierzy A. Rząd to liczba elementów głównych, a kroki wskazują, w których kolumnach się znajdują.
• Potęga Aⁿ korzysta z wielokrotnego podnoszenia do kwadratu, więc A¹⁰⁰ wymaga tylko kilku mnożeń. A⁰ to macierz jednostkowa, a wykładniki ujemne korzystają z macierzy odwrotnej.
• Iloczyn skalarny i wektorowy traktują pojedynczy wiersz lub pojedynczą kolumnę jako wektor. Iloczyn wektorowy wymaga 3 współrzędnych.

Wartości własne: dokładne i przybliżone

Narzędzie najpierw oblicza dokładnie wielomian charakterystyczny det(λI − A) metodą Faddiejewa–LeVerriera. Dla macierzy 2 × 2 wartości własne wynikają ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego i pozostają dokładne, łącznie z pierwiastkami kwadratowymi i wartościami zespolonymi: [[1, 1], [1, 0]] daje 1/2 ± √5/2. Dla macierzy 3 × 3 i większych pierwiastki wyznaczane są numerycznie algorytmem QR z przesunięciami. Każdy pierwiastek będący prostym ułamkiem jest następnie sprawdzany dokładnie w wielomianie i pokazywany bez znaku ≈. Pozostałe to przybliżenia z dokładnością ok. 8 cyfr znaczących, oznaczone ≈. Wektory własne nie są obliczane.