Calculadora de matrizes

Como usar a calculadora de matrizes

1. Escolhe uma Operação: A + B (adição), A − B (subtração), A × B (multiplicação), k × A (produto por um escalar), Transposta de A, Determinante de A, Inversa de A, Característica de A, Forma escalonada reduzida (RREF) de A, Potência Aⁿ, Valores próprios de A, ou o produto escalar e o produto vetorial de dois vetores.
2. Define a dimensão da Matriz A em Linhas e Colunas (de 1 a 6) e escreve os elementos na grelha. São aceites números inteiros, decimais como 2,5 e frações como -3/4, e uma célula vazia conta como 0. A Matriz B só aparece nas operações que precisam dela.
3. Para não escreveres célula a célula, abre Escrever ou colar como texto, cola as linhas (de uma folha de cálculo, de um documento ou de uma lista [[1, 2], [3, 4]]) e carrega em Preencher a grelha. Separa os elementos com espaços ou tabulações: como a vírgula é o separador decimal, não separa elementos (exceto dentro da lista com parênteses retos).
4. O resultado atualiza-se enquanto escreves; Calcular faz o mesmo. Trocar A e B troca as duas matrizes, Exemplo carrega um exemplo 3 × 3 e Limpar esvazia as duas grelhas.
5. Lê o resultado e abre a lista Passo a passo por baixo para acompanhar a resolução. Mostrar decimais passa a apresentação de frações para decimais, Usar o resultado como A permite encadear operações (por exemplo, inverter e depois multiplicar) e Copiar copia o resultado em linhas separadas por tabulações, prontas a colar numa folha de cálculo.

Toda a aritmética é feita com frações exatas, nunca com números de vírgula flutuante arredondados. A inversa de [[4, 7], [2, 6]] aparece como [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]], e não como 0,6000000001.

O que faz cada operação

• Adição e subtração fazem-se elemento a elemento e exigem duas matrizes da mesma dimensão.
• Multiplicação A × B exige que A tenha tantas colunas quantas as linhas de B: uma matriz m × n vezes uma matriz n × p dá uma matriz m × p. Cada elemento é uma linha de A vezes uma coluna de B, e os passos escrevem cada uma destas somas, como c₁₁ = 1 × 5 + 2 × 7 = 19. Lembra-te de que A × B e B × A são normalmente diferentes.
• Determinante: as matrizes 2 × 2 usam ad − bc, as 3 × 3 usam o desenvolvimento de Laplace pela primeira linha (com cada menor indicado), e as maiores são reduzidas à forma triangular por operações sobre as linhas. O determinante é então o produto da diagonal, com uma troca de sinal por cada troca de linhas.
• Inversa: eliminação de Gauss–Jordan na matriz ampliada [A | I]. Cada passo indica as operações sobre as linhas, como L2 → L2 − 3L1, com a matriz que resulta delas. Quando o bloco da esquerda passa a ser a identidade, o bloco da direita é A⁻¹. Se faltar um pivô, a matriz é singular e não tem inversa.
• Característica e RREF: a mesma eliminação, aplicada só a A. A característica é o número de pivôs, e os passos indicam em que colunas estão.
• Potência Aⁿ usa quadrados sucessivos, por isso A¹⁰⁰ precisa apenas de algumas multiplicações. A⁰ é a identidade e os expoentes negativos usam a inversa.
• Produto escalar e produto vetorial tratam uma única linha ou uma única coluna como um vetor. O produto vetorial precisa de 3 componentes.

Valores próprios: exatos e aproximados

A ferramenta começa por calcular de forma exata o polinómio característico det(λI − A), com o método de Faddeev–LeVerrier. Numa matriz 2 × 2, os valores próprios vêm da fórmula resolvente e mantêm-se exatos, incluindo raízes quadradas e valores complexos: [[1, 1], [1, 0]] dá 1/2 ± √5/2. Em matrizes 3 × 3 ou maiores, as raízes são encontradas numericamente com o algoritmo QR com deslocamento. As raízes que são frações simples são depois verificadas de forma exata no polinómio e aparecem sem o sinal ≈. As outras são aproximações, com cerca de 8 algarismos significativos, e ficam assinaladas com ≈. Os vetores próprios não são calculados.