Machten en wortels berekenen

Zo gebruik je de calculator voor machten en wortels

1. Kies Macht (xⁿ) of Wortel (ⁿ√x).
2. Typ het Grondtal x. Gehele getallen, decimalen en breuken werken: 2, -8, 1,5, 3/4. Decimalen typ je met een komma; een punt (1.5) wordt ook geaccepteerd.
3. Typ bij een macht de Exponent n: 10, -3, 0,5 of 2/3. Typ bij een wortel de Wortelexponent n (2 = vierkantswortel, 3 = derdemachtswortel).
4. Het Resultaat wordt bijgewerkt terwijl je typt; Berekenen doet hetzelfde en Kopiëren kopieert de exacte vorm.

Onder het resultaat staat de decimale waarde, en het paneel Stap voor stap legt elke gebruikte regel uit: negatieve exponent, gebroken exponent, ontbinding in priemfactoren, groeperen van factoren, imaginaire eenheid.

Exacte uitkomsten, niet alleen decimalen

Een rekenmachine geeft √72 ≈ 8,485281374. Deze tool geeft daarnaast de exacte vereenvoudigde wortel, 6√2, de vorm die je bij algebra-opgaven moet opschrijven. Hij werkt zoals de methode die je op school leert:

1. Ontbind het getal in priemfactoren: 72 = 2³ × 3².
2. Bij een vierkantswortel gaat elk paar gelijke factoren als één factor buiten de wortel: 2² en 3² geven 2 × 3 = 6.
3. Wat overblijft, blijft onder de wortel staan: 2. Dus √72 = 6√2.

Bij een derdemachtswortel haal je groepjes van drie eruit (∛54 = ∛(2 × 3³) = 3∛2), bij een vierdemachtswortel groepjes van vier, enzovoort. Een breuk onder een wortel wordt wortelvrij gemaakt in de noemer, dus √(1/2) wordt geschreven als √2/2.

Machten met gehele exponenten zijn ook exact, hoe groot ook: 2¹⁰⁰⁰ wordt volledig uitgeschreven met al zijn 302 cijfers, en breuken blijven breuken ((3/4)² = 9/16, 2⁻³ = 1/8). Uitkomsten van meer dan 50.000 cijfers krijg je in wetenschappelijke notatie.

De rekenregels voor machten

• Positieve gehele exponent: herhaald vermenigvuldigen, 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
• Exponent nul: x⁰ = 1 voor elke x die niet nul is. 0⁰ wordt als 1 genomen, de gangbare afspraak in de algebra; 0 tot een negatieve macht is niet gedefinieerd.
• Negatieve exponent: x⁻ⁿ = 1 / xⁿ, dus 10⁻² = 1/100 = 0,01.
• Gebroken exponent: x^(p/q) = q-de machtswortel van xᵖ. Zo is 8^(2/3) = ∛(8²) = ∛64 = 4 en 16^0,25 = ∜16 = 2. Een decimale exponent wordt eerst omgezet in een breuk (0,25 = 1/4).

Wortels van negatieve getallen

Een oneven wortel van een negatief getal is een reëel, negatief getal: ∛(−8) = −2, want (−2)³ = −8.

Een even wortel van een negatief getal heeft geen reële waarde, omdat elk reëel getal in het kwadraat positief of nul is. Hij bestaat wel bij de complexe getallen, met de imaginaire eenheid i = √−1: √−16 = √16 × √−1 = 4i. Voor vierkantswortels schrijft de tool die exacte vorm (√−8 = 2√2i). Voor andere even wortels, zoals ∜(−16), geeft hij de complexe hoofdwaarde als decimaal, 1,414 + 1,414i, en legt hij die uit in de stappen.