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Potenz- und Wurzelrechner

Potenzen mit negativen oder gebrochenen Exponenten, Quadrat-, Kubik- und n-te Wurzeln berechnen und Wurzeln exakt vereinfachen (√72 = 6√2), mit Rechenweg.

Zahlen können ganz, dezimal oder Brüche sein: 2, -8, 1,5, 3/4. Der Exponent darf negativ (2^-3) oder gebrochen sein (8^(2/3), 16^0,25). Ein gebrochener Exponent p/q bedeutet die q-te Wurzel aus x hoch p.

Ergebnis

–

Rechenweg

So nutzen Sie den Potenz- und Wurzelrechner

  1. Wählen Sie Potenz (xⁿ) oder Wurzel (ⁿ√x).
  2. Geben Sie die Basis x ein. Ganze Zahlen, Dezimalzahlen und Brüche sind möglich: 2, -8, 1,5, 3/4.
  3. Für eine Potenz tragen Sie den Exponent n ein: 10, -3, 0,5 oder 2/3. Für eine Wurzel den Wurzelexponent n (2 = Quadratwurzel, 3 = Kubikwurzel).
  4. Das Ergebnis aktualisiert sich beim Tippen; Berechnen bewirkt dasselbe, und Kopieren kopiert die exakte Form.

Unter dem Ergebnis steht der Dezimalwert, und der Bereich Rechenweg erklärt jede verwendete Regel: negativer Exponent, gebrochener Exponent, Primfaktorzerlegung, Zusammenfassen von Faktoren, imaginäre Einheit.

Exakte Ergebnisse statt nur Dezimalzahlen

Ein Taschenrechner zeigt √72 ≈ 8,485281374. Dieses Tool liefert zusätzlich die exakt vereinfachte Wurzel 6√2 – genau die Form, die in Mathe-Hausaufgaben verlangt wird. Es geht dabei so vor wie im Unterricht:

  1. Die Zahl in Primfaktoren zerlegen: 72 = 2³ × 3².
  2. Bei einer Quadratwurzel verlässt jedes Paar gleicher Faktoren die Wurzel als ein einzelner Faktor: 2² und 3² ergeben 2 × 3 = 6.
  3. Was übrig bleibt, bleibt unter der Wurzel: 2. Also ist √72 = 6√2.

Bei einer Kubikwurzel zieht man Dreiergruppen heraus (∛54 = ∛(2 × 3³) = 3∛2), bei einer vierten Wurzel Vierergruppen und so weiter. Steht ein Bruch unter der Wurzel, wird der Nenner rational gemacht: √(1/2) wird als √2/2 geschrieben.

Auch ganzzahlige Potenzen sind exakt, egal wie groß: 2¹⁰⁰⁰ wird mit allen 302 Stellen ausgeschrieben, und Brüche bleiben Brüche ((3/4)² = 9/16, 2⁻³ = 1/8). Ergebnisse mit mehr als 50.000 Stellen werden stattdessen in wissenschaftlicher Schreibweise angegeben.

Die Potenzgesetze

  • Positiver ganzzahliger Exponent: wiederholte Multiplikation, 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
  • Exponent null: x⁰ = 1 für jedes x ungleich null. 0⁰ wird als 1 festgelegt, die übliche Konvention in der Algebra; 0 hoch eine negative Zahl ist nicht definiert.
  • Negativer Exponent: x⁻ⁿ = 1 / xⁿ, also 10⁻² = 1/100 = 0,01.
  • Gebrochener Exponent: x^(p/q) = q-te Wurzel aus xᵖ. Daher ist 8^(2/3) = ∛(8²) = ∛64 = 4 und 16^0,25 = ∜16 = 2. Ein dezimaler Exponent wird zuerst in einen Bruch umgewandelt (0,25 = 1/4).

Wurzeln aus negativen Zahlen

Eine ungerade Wurzel aus einer negativen Zahl ist eine reelle, negative Zahl: ∛(−8) = −2, denn (−2)³ = −8.

Eine gerade Wurzel aus einer negativen Zahl hat keinen reellen Wert, da jede reelle Zahl zum Quadrat positiv oder null ist. Sie existiert aber bei den komplexen Zahlen, mit der imaginären Einheit i = √−1: √−16 = √16 × √−1 = 4i. Bei Quadratwurzeln zeigt das Tool diese exakte Form (√−8 = 2√2i). Für andere gerade Wurzeln wie ∜(−16) gibt es den komplexen Hauptwert als Dezimalzahl an, 1,414 + 1,414i, und erklärt ihn im Rechenweg.

Häufige Fragen

Wie vereinfache ich eine Quadratwurzel?

Zerlegen Sie die Zahl in Faktoren, ziehen Sie für jedes Paar einen Faktor heraus und lassen Sie den Rest unter der Wurzel: √50 = √(5² × 2) = 5√2. Wählen Sie Wurzel (ⁿ√x) mit Wurzelexponent 2, um jeden Schritt zu sehen.

Was bedeutet ein gebrochener Exponent?

Der Nenner gibt die Wurzel an, der Zähler die Potenz: 27^(2/3) ist die Kubikwurzel aus 27, zum Quadrat genommen, also 9.

Warum wird die Wurzel aus einer negativen Zahl mit i angezeigt?

Keine reelle Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert ein negatives Ergebnis, daher ist die Lösung eine imaginäre Zahl. i ist durch i² = −1 definiert.

Kann ich Dezimalzahlen als Basis oder Exponent verwenden?

Ja. 1,5² = 2,25 exakt, und ein Exponent wie 0,5 wird als Bruch 1/2 behandelt, also als Quadratwurzel. Sie können Komma oder Punkt als Dezimaltrennzeichen verwenden.

Wie groß dürfen die Zahlen sein?

Exakte Potenzen von ganzen Zahlen und Brüchen werden bis etwa 50.000 Stellen berechnet. Darüber hinaus erscheint das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise, mit Logarithmen berechnet, zum Beispiel 10^1000000 = 1 × 10¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰.

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