Utilia
Kategorier ▾
Språk: sv ▾

Potens- och roträknare

Räkna ut potenser med negativa eller bråkformade exponenter, kvadratrot, kubikrot och n:te roten, och förenkla rotuttryck exakt (√72 = 6√2) med steg.

Talen kan vara heltal, decimaltal eller bråk: 2, -8, 1,5, 3/4. Exponenten kan vara negativ (2^-3) eller bråk (8^(2/3), 16^0,25). En bråkexponent p/q betyder q:te roten ur x upphöjt till p.

Resultat

–

Steg för steg

Så här använder du potens- och roträknaren

  1. Välj Potens (xⁿ) eller Rot (ⁿ√x).
  2. Skriv Bas x. Heltal, decimaltal och bråk fungerar: 2, -8, 1,5, 3/4.
  3. För en potens skriver du Exponent n: 10, -3, 0,5 eller 2/3. För en rot skriver du Rotens index n (2 = kvadratrot, 3 = kubikrot).
  4. Resultat uppdateras medan du skriver. Beräkna gör samma sak och Kopiera kopierar den exakta formen.

Under resultatet får du decimalvärdet, och panelen Steg för steg förklarar varje regel som använts: negativ exponent, bråkexponent, primtalsfaktorisering, gruppering av faktorer och imaginära enheten.

Exakta resultat, inte bara decimaltal

En vanlig räknare visar √72 ≈ 8,485281374. Det här verktyget ger också det exakta, förenklade rotuttrycket 6√2, den form som förväntas i läxor och prov. Det fungerar som metoden man lär sig i skolan:

  1. Faktorisera talet i primtal: 72 = 2³ × 3².
  2. För en kvadratrot tar varje par av lika faktorer sig ut ur roten som en enda faktor: 2² och 3² ger 2 × 3 = 6.
  3. Det som blir över stannar under rottecknet: 2. Alltså är √72 = 6√2.

För en kubikrot tar du ut grupper om tre (∛54 = ∛(2 × 3³) = 3∛2), för en fjärde rot grupper om fyra, och så vidare. Ett bråk under en rot får rationaliserad nämnare, så √(1/2) skrivs √2/2.

Potenser med heltalsexponent är också exakta, hur stora de än är: 2¹⁰⁰⁰ skrivs ut med alla sina 302 siffror, och bråk förblir bråk ((3/4)² = 9/16, 2⁻³ = 1/8). Resultat med fler än 50 000 siffror anges i stället i grundpotensform.

Potenslagarna

  • Positiv heltalsexponent: upprepad multiplikation, 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
  • Exponent noll: x⁰ = 1 för varje x skilt från noll. 0⁰ räknas som 1, den vanliga konventionen i algebra. Noll upphöjt till ett negativt tal är odefinierat.
  • Negativ exponent: x⁻ⁿ = 1 / xⁿ, så 10⁻² = 1/100 = 0,01.
  • Bråkexponent: x^(p/q) = q:te roten ur xᵖ. Alltså är 8^(2/3) = ∛(8²) = ∛64 = 4 och 16^0,25 = ∜16 = 2. En decimalexponent görs först om till ett bråk (0,25 = 1/4).

Rötter ur negativa tal

En udda rot ur ett negativt tal är ett reellt, negativt tal: ∛(−8) = −2, eftersom (−2)³ = −8.

En jämn rot ur ett negativt tal saknar reellt värde, eftersom varje reellt tal i kvadrat är positivt eller noll. Den finns bland de komplexa talen, med den imaginära enheten i = √−1: √−16 = √16 × √−1 = 4i. För kvadratrötter skriver verktyget denna exakta form (√−8 = 2√2i). För andra jämna rötter, som ∜(−16), ger det principalvärdet i decimalform, 1,414 + 1,414i, och förklarar det i stegen.

Vanliga frågor

Hur förenklar jag en kvadratrot?

Faktorisera talet, ta ut en faktor för varje par och låt resten stå kvar under rottecknet: √50 = √(5² × 2) = 5√2. Välj Rot (ⁿ√x) med index 2 för att se varje steg.

Vad betyder en bråkexponent?

Nämnaren är roten och täljaren är potensen: 27^(2/3) är kubikroten ur 27, i kvadrat, vilket blir 9.

Varför visas kvadratroten ur ett negativt tal med i?

Inget reellt tal multiplicerat med sig självt ger ett negativt resultat, så svaret är ett imaginärt tal. i definieras av i² = −1.

Kan jag använda decimaltal som bas eller exponent?

Ja. 1,5² = 2,25 exakt, och en exponent som 0,5 behandlas som bråket 1/2, vilket gör det till en kvadratrot.

Hur stora tal klarar verktyget?

Exakta potenser med heltal och bråk beräknas upp till cirka 50 000 siffror. Längre än så visas resultatet i grundpotensform, beräknat med logaritmer, till exempel 10^1000000 = 1 × 10¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰.

Relaterade verktyg