Hatvány- és gyökszámító

Hogyan használd a hatvány- és gyökszámítót

1. Válaszd a Hatvány (xⁿ) vagy a Gyök (ⁿ√x) lehetőséget.
2. Írd be az x alap értékét. Egész számok, tizedestörtek és törtek is működnek: 2, -8, 1,5, 3/4.
3. Hatványnál add meg az n kitevő értékét: 10, -3, 0,5 vagy 2/3. Gyöknél a Gyökkitevő n értékét írd be (2 = négyzetgyök, 3 = köbgyök).
4. Az Eredmény gépelés közben frissül; a Számítás gomb ugyanezt teszi, a Másolás pedig a pontos alakot másolja.

Az eredmény alatt megkapod a tizedes értéket, a Lépésről lépésre panel pedig elmagyarázza az alkalmazott szabályokat: negatív kitevő, törtkitevő, prímtényezős felbontás, tényezők csoportosítása, képzetes egység.

Pontos eredmények, nem csak tizedesek

Egy számológép a √72-re ≈ 8,485281374-et mutat. Ez az eszköz a pontos, egyszerűsített gyökalakot is megadja: 6√2, ahogy azt az algebraházik elvárják. Úgy dolgozik, ahogy az órán tanítják:

1. Bontsd a számot prímtényezőkre: 72 = 2³ × 3².
2. Négyzetgyöknél minden egyenlő tényezőpár egy tényezőként kerül ki a gyökjel elé: a 2² és a 3² ad 2 × 3 = 6-ot.
3. Ami megmarad, a gyökjel alatt marad: 2. Tehát √72 = 6√2.

Köbgyöknél hármas csoportokat emelsz ki (∛54 = ∛(2 × 3³) = 3∛2), negyedik gyöknél négyes csoportokat, és így tovább. A gyök alatti törtet gyöktelenítjük, így a √(1/2) alakja √2/2.

Az egész kitevőjű hatványok is pontosak, bármilyen nagyok: a 2¹⁰⁰⁰ mind a 302 számjegyével kiíródik, a törtek pedig törtek maradnak ((3/4)² = 9/16, 2⁻³ = 1/8). Az 50 000 számjegynél hosszabb eredményeket tudományos alakban kapod.

A hatványozás azonosságai

• Pozitív egész kitevő: ismételt szorzás, 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
• Nulla kitevő: x⁰ = 1 minden nullától különböző x-re. A 0⁰ értékét az algebrában szokásos módon 1-nek vesszük; a nulla negatív hatványa nem értelmezett.
• Negatív kitevő: x⁻ⁿ = 1 / xⁿ, így 10⁻² = 1/100 = 0,01.
• Törtkitevő: x^(p/q) = xᵖ q-adik gyöke. Tehát 8^(2/3) = ∛(8²) = ∛64 = 4 és 16^0,25 = ∜16 = 2. A tizedes kitevőt az eszköz először törtté alakítja (0,25 = 1/4).

Negatív számok gyökei

Negatív szám páratlan gyöke valós, negatív szám: ∛(−8) = −2, mert (−2)³ = −8.

Negatív szám páros gyökének nincs valós értéke, mert minden valós szám négyzete pozitív vagy nulla. A komplex számok között létezik, a képzetes egység, i = √−1 segítségével: √−16 = √16 × √−1 = 4i. Négyzetgyöknél az eszköz ezt a pontos alakot írja ki (√−8 = 2√2i). Más páros gyököknél, például a ∜(−16)-nál, a komplex főértéket adja tizedes alakban, 1,414 + 1,414i, és a lépésekben elmagyarázza.