Калькулятор степенів і коренів

Обчислюйте степені з від’ємним або дробовим показником, квадратні, кубічні й корені n-го степеня та точно спрощуйте корені (√72 = 6√2) з кроками.

Основа x Показник n

Числа можуть бути цілими, десятковими або дробами: 2, -8, 1,5, 3/4. Показник може бути від’ємним (2^-3) або дробовим (8^(2/3), 16^0,25). Дробовий показник p/q означає корінь q-го степеня з x у степені p.

Результат

–

Покроково

Як користуватися калькулятором степенів і коренів

Виберіть Степінь (xⁿ) або Корінь (ⁿ√x).
Введіть Основу x. Підходять цілі числа, десяткові дроби та звичайні дроби: 2, -8, 1,5, 3/4.
Для степеня введіть Показник n: 10, -3, 0,5 або 2/3. Для кореня введіть Показник кореня n (2 – квадратний корінь, 3 – кубічний).
Результат оновлюється, поки ви вводите дані; кнопка Обчислити робить те саме, а Копіювати копіює точний запис.

Під результатом ви побачите десяткове значення, а панель Покроково пояснить кожне використане правило: від’ємний показник, дробовий показник, розклад на прості множники, групування множників, уявна одиниця.

Працює у вашому браузері. Нічого з того, що ви вводите, не надсилається на сервер.

Точні результати, а не лише десяткові

Звичайний калькулятор показує √72 ≈ 8,485281374. Цей інструмент ще й дає точний спрощений корінь, 6√2, тобто форму, яку очікують у домашніх завданнях з алгебри. Він діє так, як учать у школі:

Розкладіть число на прості множники: 72 = 2³ × 3².
Для квадратного кореня кожна пара однакових множників виходить з-під кореня одним множником: 2² і 3² дають 2 × 3 = 6.
Те, що залишилося, лишається під коренем: 2. Отже, √72 = 6√2.

Для кубічного кореня виносять групи по три (∛54 = ∛(2 × 3³) = 3∛2), для кореня четвертого степеня – групи по чотири тощо. Дріб під коренем звільняють від ірраціональності в знаменнику, тому √(1/2) записується як √2/2.

Цілі степені теж точні, якими б великими вони не були: 2¹⁰⁰⁰ виписується з усіма 302 цифрами, а дроби лишаються дробами ((3/4)² = 9/16, 2⁻³ = 1/8). Результати з понад 50 000 цифр подаються в науковому записі.

Правила степенів

Додатний цілий показник: повторне множення, 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
Нульовий показник: x⁰ = 1 для будь-якого ненульового x. 0⁰ вважається рівним 1, це звична домовленість в алгебрі; нуль у від’ємному степені не визначено.
Від’ємний показник: x⁻ⁿ = 1 / xⁿ, тому 10⁻² = 1/100 = 0,01.
Дробовий показник: x^(p/q) = корінь q-го степеня з xᵖ. Отже, 8^(2/3) = ∛(8²) = ∛64 = 4, а 16^0,25 = ∜16 = 2. Десятковий показник спочатку перетворюється на дріб (0,25 = 1/4).

Корені з від’ємних чисел

Корінь непарного степеня з від’ємного числа – дійсне від’ємне число: ∛(−8) = −2, бо (−2)³ = −8.

Корінь парного степеня з від’ємного числа не має дійсного значення, оскільки будь-яке дійсне число в квадраті додатне або нульове. Він існує серед комплексних чисел за допомогою уявної одиниці i = √−1: √−16 = √16 × √−1 = 4i. Для квадратних коренів інструмент записує цю точну форму (√−8 = 2√2i). Для інших парних коренів, наприклад ∜(−16), він дає головне комплексне значення в десятковому вигляді, 1,414 + 1,414i, і пояснює його в кроках.

Поширені запитання

Як спростити квадратний корінь?

Розкладіть число на множники, винесіть по одному множнику за кожну пару, а решту залиште під коренем: √50 = √(5² × 2) = 5√2. Виберіть Корінь (ⁿ√x) з показником 2, щоб побачити кожен крок.

Що означає дробовий показник?

Знаменник – це степінь кореня, а чисельник – степінь числа: 27^(2/3) – це кубічний корінь із 27, піднесений до квадрата, тобто 9.

Чому квадратний корінь із від’ємного числа показано з i?

Жодне дійсне число, помножене само на себе, не дає від’ємного результату, тож відповідь – уявне число. i визначено рівністю i² = −1.

Чи можна використовувати десяткові дроби як основу чи показник?

Так. 1,5² = 2,25 точно, а показник на кшталт 0,5 розглядається як дріб 1/2, що робить його квадратним коренем.

Наскільки великими можуть бути числа?

Точні степені цілих чисел і дробів обчислюються приблизно до 50 000 цифр. Далі результат показується в науковому записі, обчисленому через логарифми, наприклад 10^1000000 = 1 × 10¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰.