Calculateur de puissances et de racines

Comment calculer une puissance ou une racine

1. Choisissez Puissance (xⁿ) ou Racine (ⁿ√x).
2. Saisissez le Nombre x : entier, décimal ou fraction (2 ; -8 ; 1,5 ; 3/4).
3. Pour une puissance, saisissez l’Exposant n : 10 ; -3 ; 0,5 ou 2/3. Pour une racine, indiquez l’Indice de la racine n (2 = carrée, 3 = cubique).
4. Le Résultat se met à jour pendant la saisie ; Calculer fait de même et Copier copie la forme exacte.

Sous le résultat s’affiche la valeur décimale, et le panneau Étapes du calcul détaille chaque règle utilisée : exposant négatif, exposant fractionnaire, décomposition en facteurs premiers, regroupement des facteurs, unité imaginaire.

Des résultats exacts, pas seulement des décimales

Une calculatrice affiche √72 ≈ 8,485281374. Cet outil donne aussi la racine simplifiée exacte, 6√2, celle qu’on attend dans un exercice de collège ou de lycée. La méthode est celle du cours :

1. On décompose le nombre en facteurs premiers : 72 = 2³ × 3².
2. Pour une racine carrée, chaque paire de facteurs identiques sort de la racine sous la forme d’un seul facteur : 2² et 3² donnent 2 × 3 = 6.
3. Ce qui reste demeure sous le radical : 2. Donc √72 = 6√2.

Pour une racine cubique, on sort les groupes de trois (∛54 = ∛(2 × 3³) = 3∛2), pour une racine quatrième les groupes de quatre, etc. Une fraction sous une racine est rendue rationnelle au dénominateur : √(1/2) s’écrit √2/2.

Les puissances entières sont exactes elles aussi, quelle que soit leur taille : 2¹⁰⁰⁰ s’affiche avec ses 302 chiffres, et les fractions restent des fractions ((3/4)² = 9/16 ; 2⁻³ = 1/8). Au-delà de 50 000 chiffres, le résultat est donné en notation scientifique.

Les règles de calcul sur les puissances

• Exposant entier positif : multiplications successives, 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
• Exposant nul : x⁰ = 1 pour tout x non nul. 0⁰ vaut 1 par convention ; zéro à une puissance négative n’est pas défini.
• Exposant négatif : x⁻ⁿ = 1 / xⁿ, donc 10⁻² = 1/100 = 0,01.
• Exposant fractionnaire : x^(p/q) = racine q-ième de xᵖ. Ainsi 8^(2/3) = ∛(8²) = ∛64 = 4 et 16^0,25 = ∜16 = 2. Un exposant décimal est d’abord converti en fraction (0,25 = 1/4).

Racine d’un nombre négatif

Une racine impaire d’un nombre négatif est un réel négatif : ∛(−8) = −2, car (−2)³ = −8.

Une racine paire d’un nombre négatif n’existe pas dans les réels, puisqu’un carré est toujours positif ou nul. Elle existe dans les nombres complexes, grâce à l’unité imaginaire i = √−1 : √−16 = √16 × √−1 = 4i. Pour les racines carrées, l’outil donne cette forme exacte (√−8 = 2√2i). Pour les autres racines paires, comme ∜(−16), il donne la valeur complexe principale en décimal, 1,414 + 1,414i, avec l’explication dans les étapes.