Mocniny a odmocniny

Jak používat kalkulačku mocnin a odmocnin

1. Vyber Mocnina (xⁿ) nebo Odmocnina (ⁿ√x).
2. Napiš Základ x. Fungují celá čísla, desetinná čísla i zlomky: 2, -8, 1,5, 3/4.
3. U mocniny napiš Exponent n: 10, -3, 0,5 nebo 2/3. U odmocniny napiš Odmocnitel n (2 = druhá odmocnina, 3 = třetí odmocnina).
4. Výsledek se přepočítává už při psaní; tlačítko Vypočítat dělá totéž a Kopírovat zkopíruje přesný tvar.

Pod výsledkem najdeš desetinnou hodnotu a část Postup vysvětluje každé použité pravidlo: záporný exponent, zlomkový exponent, rozklad na prvočinitele, seskupení činitelů, imaginární jednotku.

Nástroj funguje ve tvém prohlížeči. Nic, co zadáš, se neodesílá na server.

Přesné výsledky, nejen desetinná čísla

Běžná kalkulačka ukáže √72 ≈ 8,485281374. Tento nástroj navíc uvede přesný částečně odmocněný tvar, 6√2, tedy podobu, kterou se očekává v domácích úkolech z algebry. Postupuje stejně jako metoda ze školy:

1. Rozlož číslo na prvočinitele: 72 = 2³ × 3².
2. U druhé odmocniny se každá dvojice stejných činitelů vytkne před odmocninu jako jeden činitel: 2² a 3² dají 2 × 3 = 6.
3. Co zbyde, zůstane pod odmocninou: 2. Takže √72 = 6√2.

U třetí odmocniny vytýkáš trojice (∛54 = ∛(2 × 3³) = 3∛2), u čtvrté čtveřice a tak dále. Zlomek pod odmocninou se usměrní, takže √(1/2) se zapíše jako √2/2.

Celočíselné mocniny jsou také přesné, ať jsou jakkoli velké: 2¹⁰⁰⁰ se vypíše se všemi 302 číslicemi a zlomky zůstávají zlomky ((3/4)² = 9/16, 2⁻³ = 1/8). Výsledky s více než 50 000 číslicemi se místo toho uvádějí ve vědeckém zápisu.

Pravidla pro mocniny

• Kladný celočíselný exponent: opakované násobení, 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
• Nulový exponent: x⁰ = 1 pro každé nenulové x. 0⁰ se bere jako 1, což je obvyklá konvence v algebře; nula na zápornou mocninu není definována.
• Záporný exponent: x⁻ⁿ = 1 / xⁿ, takže 10⁻² = 1/100 = 0,01.
• Zlomkový exponent: x^(p/q) = q-tá odmocnina z xᵖ. Takže 8^(2/3) = ∛(8²) = ∛64 = 4 a 16^0,25 = ∜16 = 2. Desetinný exponent se nejprve převede na zlomek (0,25 = 1/4).

Odmocniny ze záporných čísel

Lichá odmocnina ze záporného čísla je reálné záporné číslo: ∛(−8) = −2, protože (−2)³ = −8.

Sudá odmocnina ze záporného čísla nemá reálnou hodnotu, protože každé reálné číslo na druhou je kladné nebo nula. Existuje však mezi komplexními čísly pomocí imaginární jednotky i = √−1: √−16 = √16 × √−1 = 4i. U druhých odmocnin nástroj tento přesný tvar vypíše (√−8 = 2√2i). U ostatních sudých odmocnin, například ∜(−16), uvede hlavní komplexní hodnotu v desetinném tvaru, 1,414 + 1,414i, a vysvětlí ji v postupu.