Utilia
Kategórie ▾
Jazyk: sk ▾

Kalkulačka mocnín a odmocnín

Vypočítaj mocniny so zápornými alebo zlomkovými exponentmi, druhé, tretie a n-té odmocniny a uprav odmocniny presne (√72 = 6√2), s postupom.

Čísla môžu byť celé, desatinné alebo zlomky: 2, -8, 1,5, 3/4. Exponent môže byť záporný (2^-3) alebo zlomkový (8^(2/3), 16^0,25). Zlomkový exponent p/q znamená q-tú odmocninu z čísla x umocneného na p.

Výsledok

–

Postup krok za krokom

Ako používať kalkulačku mocnín a odmocnín

  1. Vyber Mocnina (xⁿ) alebo Odmocnina (ⁿ√x).
  2. Zadaj Základ x. Fungujú celé čísla, desatinné čísla aj zlomky: 2, -8, 1,5, 3/4.
  3. Pri mocnine zadaj Exponent n: 10, -3, 0,5 alebo 2/3. Pri odmocnine zadaj Stupeň odmocniny n (2 = druhá odmocnina, 3 = tretia odmocnina).
  4. Výsledok sa prepočítava pri písaní; rovnaký výsledok dá aj Vypočítať a Kopírovať skopíruje presný tvar.

Pod výsledkom nájdeš desatinnú hodnotu a panel Postup krok za krokom vysvetľuje každé použité pravidlo: záporný exponent, zlomkový exponent, rozklad na prvočinitele, zoskupovanie činiteľov, imaginárnu jednotku.

Presné výsledky, nielen desatinné

Kalkulačka ukáže √72 ≈ 8,485281374. Tento nástroj uvedie aj presne upravenú odmocninu 6√2, teda tvar, ktorý sa očakáva v úlohách z algebry. Postupuje ako metóda, ktorú sa učí v škole:

  1. Rozlož číslo na prvočinitele: 72 = 2³ × 3².
  2. Pri druhej odmocnine každá dvojica rovnakých činiteľov vyjde pred odmocninu ako jeden činiteľ: 2² a 3² dajú 2 × 3 = 6.
  3. Čo zostane, ostane pod odmocninou: 2. Takže √72 = 6√2.

Pri tretej odmocnine vyberáš skupiny po troch (∛54 = ∛(2 × 3³) = 3∛2), pri štvrtej odmocnine skupiny po štyroch a tak ďalej. Zlomok pod odmocninou sa usmerní, takže √(1/2) sa zapíše ako √2/2.

Mocniny s celým exponentom sú presné tiež, nech sú akokoľvek veľké: 2¹⁰⁰⁰ sa vypíše so všetkými 302 číslicami a zlomky zostávajú zlomkami ((3/4)² = 9/16, 2⁻³ = 1/8). Výsledky s viac ako 50 000 číslicami sa namiesto toho uvedú vo vedeckom zápise.

Pravidlá pre exponenty

  • Kladný celý exponent: opakované násobenie, 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
  • Nulový exponent: x⁰ = 1 pre každé nenulové x. 0⁰ sa berie ako 1, čo je bežná konvencia v algebre; nula na zápornú mocninu nie je definovaná.
  • Záporný exponent: x⁻ⁿ = 1 / xⁿ, takže 10⁻² = 1/100 = 0,01.
  • Zlomkový exponent: x^(p/q) = q-tá odmocnina z xᵖ. Takže 8^(2/3) = ∛(8²) = ∛64 = 4 a 16^0,25 = ∜16 = 2. Desatinný exponent sa najprv prevedie na zlomok (0,25 = 1/4).

Odmocniny zo záporných čísel

Nepárna odmocnina zo záporného čísla je reálne záporné číslo: ∛(−8) = −2, pretože (−2)³ = −8.

Párna odmocnina zo záporného čísla nemá reálnu hodnotu, lebo druhá mocnina každého reálneho čísla je kladná alebo nulová. Existuje medzi komplexnými číslami, pomocou imaginárnej jednotky i = √−1: √−16 = √16 × √−1 = 4i. Pri druhých odmocninách nástroj zapíše tento presný tvar (√−8 = 2√2i). Pri iných párnych odmocninách, napríklad ∜(−16), uvedie hlavnú komplexnú hodnotu v desatinnom tvare, 1,414 + 1,414i, a vysvetlí ju v postupe.

Často kladené otázky

Ako upravím druhú odmocninu?

Rozlož číslo na činitele, za každú dvojicu vyber jedného činiteľa pred odmocninu a zvyšok nechaj pod odmocninou: √50 = √(5² × 2) = 5√2. Vyber Odmocnina (ⁿ√x) so stupňom 2 a uvidíš každý krok.

Čo znamená zlomkový exponent?

Menovateľ je odmocnina a čitateľ je mocnina: 27^(2/3) je tretia odmocnina z 27 umocnená na druhú, čo je 9.

Prečo sa druhá odmocnina zo záporného čísla zobrazuje s i?

Žiadne reálne číslo vynásobené samo sebou nedá záporný výsledok, takže odpoveďou je imaginárne číslo. Číslo i je definované vzťahom i² = −1.

Môžem ako základ alebo exponent použiť desatinné čísla?

Áno. 1,5² = 2,25 presne a exponent ako 0,5 sa berie ako zlomok 1/2, takže ide o druhú odmocninu.

Aké veľké môžu byť čísla?

Presné mocniny celých čísel a zlomkov sa počítajú až do približne 50 000 číslic. Za touto hranicou sa výsledok zobrazí vo vedeckom zápise, vypočítanom pomocou logaritmov, napríklad 10^1000000 = 1 × 10¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰.

Súvisiace nástroje