Kalkulator potęg i pierwiastków

Jak korzystać z kalkulatora potęg i pierwiastków

1. Wybierz Potęga (xⁿ) albo Pierwiastek (ⁿ√x).
2. Wpisz Podstawa x. Działają liczby całkowite, dziesiętne i ułamki zwykłe: 2; -8; 1,5; 3/4.
3. Dla potęgi wpisz Wykładnik n: 10, -3, 0,5 albo 2/3. Dla pierwiastka wpisz Stopień pierwiastka n (2 = kwadratowy, 3 = sześcienny).
4. Wynik aktualizuje się podczas pisania; Oblicz robi to samo, a Kopiuj kopiuje postać dokładną.

Pod wynikiem pojawia się wartość dziesiętna, a panel Krok po kroku wyjaśnia każdą zastosowaną regułę: wykładnik ujemny, wykładnik ułamkowy, rozkład na czynniki pierwsze, grupowanie czynników, jednostkę urojoną.

Wyniki dokładne, nie tylko przybliżenia

Zwykły kalkulator pokaże √72 ≈ 8,485281374. To narzędzie podaje też dokładną, uproszczoną postać 6√2, której oczekuje się w zadaniach z algebry. Działa tak jak metoda ze szkoły:

1. Rozłóż liczbę na czynniki pierwsze: 72 = 2³ × 3².
2. Przy pierwiastku kwadratowym każda para równych czynników wychodzi przed pierwiastek jako jeden czynnik: 2² i 3² dają 2 × 3 = 6.
3. To, co zostało, pozostaje pod pierwiastkiem: 2. Zatem √72 = 6√2.

Przy pierwiastku sześciennym wyłącza się grupy po trzy (∛54 = ∛(2 × 3³) = 3∛2), przy pierwiastku czwartego stopnia – grupy po cztery i tak dalej. Ułamek pod pierwiastkiem jest usuwany z mianownika (usuwanie niewymierności), więc √(1/2) zapisuje się jako √2/2.

Potęgi o wykładniku całkowitym też są dokładne, niezależnie od wielkości: 2¹⁰⁰⁰ jest wypisane ze wszystkimi 302 cyframi, a ułamki pozostają ułamkami ((3/4)² = 9/16, 2⁻³ = 1/8). Wyniki mające ponad 50 000 cyfr są podawane w notacji wykładniczej.

Własności potęg

• Wykładnik całkowity dodatni: wielokrotne mnożenie, 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
• Wykładnik zero: x⁰ = 1 dla każdego niezerowego x. 0⁰ przyjmuje się jako 1, zgodnie z typową konwencją w algebrze; 0 do potęgi ujemnej jest nieokreślone.
• Wykładnik ujemny: x⁻ⁿ = 1 / xⁿ, więc 10⁻² = 1/100 = 0,01.
• Wykładnik ułamkowy: x^(p/q) = pierwiastek stopnia q z xᵖ. Zatem 8^(2/3) = ∛(8²) = ∛64 = 4, a 16^0,25 = ∜16 = 2. Wykładnik dziesiętny jest najpierw zamieniany na ułamek (0,25 = 1/4).

Pierwiastki z liczb ujemnych

Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej jest liczbą rzeczywistą ujemną: ∛(−8) = −2, bo (−2)³ = −8.

Pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej nie ma wartości rzeczywistej, ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest dodatni lub równy zeru. Istnieje natomiast wśród liczb zespolonych, z jednostką urojoną i = √−1: √−16 = √16 × √−1 = 4i. Dla pierwiastków kwadratowych narzędzie zapisuje tę dokładną postać (√−8 = 2√2i). Dla innych pierwiastków parzystego stopnia, np. ∜(−16), podaje główną wartość zespoloną w postaci dziesiętnej, 1,414 + 1,414i, i wyjaśnia ją w krokach.