Driehoek berekenen

Zo bereken je een driehoek met deze tool

1. Typ drie bekende waarden in de zes vakken: Zijde a, Zijde b, Zijde c, Hoek A, Hoek B en Hoek C. Minstens één ervan moet een zijde zijn. Laat de andere drie vakken leeg.
2. Kies de Hoekeenheid: Graden of Radialen. In radialen kun je waarden typen zoals 1,2, pi/3 of 2π/3. Wissel je van eenheid, dan worden de hoeken die je al getypt hebt omgerekend, zodat de driehoek dezelfde blijft.
3. De driehoek wordt opgelost terwijl je typt (de knop Oplossen doet hetzelfde). De tool noemt het herkende geval, bijvoorbeeld ZHZ, en toont de drie zijden, de drie hoeken, de Omtrek, de Oppervlakte, de drie hoogten en de soort driehoek (scherphoekig, rechthoekig of stomphoekig; gelijkzijdig, gelijkbenig of ongelijkzijdig).
4. Onder de resultaten zie je een tekening van de driehoek op schaal en de Uitwerking stap voor stap. Kopiëren kopieert de zijden, hoeken, oppervlakte en omtrek; Wissen maakt alle zes vakken leeg.

De naamgeving volgt de gebruikelijke afspraak: zijde a ligt tegenover hoek A, zijde b tegenover hoek B en zijde c tegenover hoek C. In de tekening staat hoekpunt A links, B rechts en C bovenaan.

Decimalen schrijf je met een komma (4,5); een punt wordt ook begrepen.

De vijf gevallen en hoe ze worden opgelost

Drie waarden leggen een driehoek vast, zolang er minstens één lengte bij zit. Afhankelijk van wat je kent, volgt de tool een andere route (de internationale afkortingen zijn SSS, SAS, ASA, AAS en SSA):

• ZZZ (drie zijden). Eerst controleert de tool de driehoeksongelijkheid: de twee kortste zijden moeten samen langer zijn dan de langste. De cosinusregel geeft dan twee hoeken, bijvoorbeeld cos A = (b² + c² − a²) / (2bc), en de derde volgt uit de hoekensom.
• ZHZ (twee zijden en de ingesloten hoek). De cosinusregel geeft de ontbrekende zijde: a² = b² + c² − 2bc cos A. De andere hoeken volgen zoals bij ZZZ.
• HZH en HHZ (twee hoeken en een zijde). De derde hoek is 180° min de andere twee. De ontbrekende zijden komen uit de sinusregel: a / sin A = b / sin B = c / sin C.
• ZZH (twee zijden en een hoek die er niet tussen ligt). Dit is het dubbelzinnige geval. De sinusregel geeft de sinus van een tweede hoek, bijvoorbeeld sin B = b × sin A / a. Is die waarde groter dan 1, dan bestaat er geen driehoek. Anders is er één hoek B mogelijk of twee (B en 180° − B). Geven beide een geldige driehoek, dan toont de tool Oplossing 1 en Oplossing 2, elk met een eigen tekening en uitwerking.

Drie hoeken alleen zijn niet genoeg: ze leggen de vorm vast, maar een driehoek van elke grootte heeft dezelfde hoeken.

Oppervlakte, omtrek en hoogten

Zodra de drie zijden bekend zijn, is de omtrek P = a + b + c en volgt de oppervlakte uit de formule van Heron: met de halve omtrek s = P / 2 is de oppervlakte S = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Elke hoogte is tweemaal de oppervlakte gedeeld door de zijde waarop ze valt: h_a = 2S / a, en zo ook voor b en c. Voor een 3-4-5-driehoek is s = 6, de oppervlakte √(6 × 3 × 2 × 1) = 6 en de hoogte op de langste zijde 2 × 6 / 5 = 2,4.

De resultaten worden getoond met zes significante cijfers. Elke tussenwaarde staat in de uitwerking, zodat je de berekening kunt controleren of overnemen in je huiswerk. Alles wordt in je browser berekend.