Calculadora de triangles

Com resoldre un triangle amb aquesta eina

1. Escriu tres valors coneguts qualssevol a les sis caselles: Costat a, Costat b, Costat c, Angle A, Angle B i Angle C. Almenys un ha de ser un costat. Deixa buides les altres tres caselles.
2. Tria la Unitat d’angle: Graus o Radians. En radians pots escriure valors com 1,2, pi/3 o 2π/3. Canviar la unitat converteix els angles que ja has escrit, de manera que el triangle continua sent el mateix.
3. El triangle es resol mentre escrius (el botó Resol fa el mateix). L’eina indica el cas que ha detectat, per exemple CAC, i mostra els tres costats, els tres angles, el Perímetre, l’Àrea, les tres altures i el tipus de triangle (acutangle, rectangle o obtusangle; equilàter, isòsceles o escalè).
4. Sota els resultats trobes un dibuix del triangle a escala i la Resolució pas a pas. Copia copia els costats, els angles, l’àrea i el perímetre; Esborra buida les sis caselles.

La nomenclatura segueix el conveni habitual: el costat a és oposat a l’angle A, el costat b és oposat a l’angle B i el costat c és oposat a l’angle C. Al diagrama, el vèrtex A és a l’esquerra, el B a la dreta i el C a dalt. Tot es calcula al teu navegador, sense enviar res a cap servidor.

Els cinc casos i com es resol cadascun

Tres valors determinen un triangle sempre que almenys un d’ells sigui una longitud. Segons els valors que coneguis, s’utilitza un camí diferent:

• CCC (tres costats). L’eina comprova primer la desigualtat triangular: els dos costats més curts han de sumar més que el més llarg. Després el teorema del cosinus dona dos angles, per exemple cos A = (b² + c² − a²) / (2bc), i el tercer surt de la suma dels angles.
• CAC (dos costats i l’angle comprès). El teorema del cosinus dona el costat que falta: a² = b² + c² − 2bc cos A. Els altres angles se segueixen com en el cas CCC.
• ACA i AAC (dos angles i un costat). El tercer angle és 180° menys els altres dos. Els costats que falten surten del teorema del sinus: a / sin A = b / sin B = c / sin C.
• CCA (dos costats i un angle que no és el comprès). És el cas ambigu. El teorema del sinus dona el sinus d’un segon angle, per exemple sin B = b × sin A / a. Si aquest valor és superior a 1, no existeix cap triangle. Altrament pot haver-hi un angle B o dos (B i 180° − B). Quan tots dos donen un triangle vàlid, l’eina mostra Solució 1 i Solució 2, cadascuna amb el seu diagrama i els seus passos.

Tres angles sols no són suficients: fixen la forma, però un triangle de qualsevol mida té els mateixos angles.

Àrea, perímetre i altures

Quan es coneixen els tres costats, el perímetre és P = a + b + c i l’àrea surt de la fórmula d’Heró: amb el semiperímetre s = P / 2, l’àrea és S = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Cada altura és el doble de l’àrea dividit pel costat sobre el qual cau: h_a = 2S / a, i igual per a b i c. Per a un triangle 3-4-5, s = 6, l’àrea és √(6 × 3 × 2 × 1) = 6 i l’altura sobre el costat més llarg és 2 × 6 / 5 = 2,4.

Els resultats es mostren amb sis xifres significatives. Tots els valors intermedis apareixen als passos, de manera que pots comprovar el procediment o copiar-lo als teus deures.