حاسبة المثلث

كيفية حل مثلث بهذه الأداة

1. اكتب أي ثلاث قيم معلومة في الحقول الستة: الضلع a والضلع b والضلع c والزاوية A والزاوية B والزاوية C. يجب أن تكون إحداها ضلعًا على الأقل. واترك الحقول الثلاثة الأخرى فارغة.
2. اختر وحدة الزاوية: الدرجات أو الراديان. وبالراديان يمكنك كتابة قيم مثل 1.2 أو pi/3 أو 2π/3. ويؤدي تغيير الوحدة إلى تحويل الزوايا التي كتبتها، فيبقى المثلث نفسه.
3. يُحل المثلث أثناء الكتابة (وزر حُلّ يؤدي الشيء نفسه). تذكر الأداة الحالة التي اكتشفتها، مثل SAS، وتعرض الأضلاع الثلاثة والزوايا الثلاث، والمحيط، والمساحة، والارتفاعات الثلاثة، ونوع المثلث (حاد الزوايا أو قائم الزاوية أو منفرج الزاوية؛ متساوي الأضلاع أو متساوي الساقين أو مختلف الأضلاع).
4. تحت النتائج ستجد رسمًا للمثلث بمقياس رسم، والحل خطوة بخطوة. ينسخ زر نسخ الأضلاع والزوايا والمساحة والمحيط؛ ويفرّغ زر مسح الحقول الستة.

تتبع التسمية الاصطلاح المعتاد: الضلع a يقابل الزاوية A، والضلع b يقابل الزاوية B، والضلع c يقابل الزاوية C. وفي الرسم يقع الرأس A على اليسار، وB على اليمين، وC في الأعلى.

الحالات الخمس وطريقة حل كل منها

تحدد ثلاث قيم المثلثَ ما دامت إحداها طولًا. وبحسب القيم المعلومة تُتّبع طريقة مختلفة:

• SSS (ثلاثة أضلاع). تتحقق الأداة أولًا من متباينة المثلث: يجب أن يكون مجموع الضلعين الأقصر أكبر من الضلع الأطول. ثم يعطي قانون جيب التمام زاويتين، مثل cos A = (b² + c² − a²) / (2bc)، وتُستنتج الثالثة من مجموع الزوايا.
• SAS (ضلعان والزاوية المحصورة بينهما). يعطي قانون جيب التمام الضلع المجهول: a² = b² + c² − 2bc cos A. ثم تُحسب الزاويتان الأخريان كما في SSS.
• ASA وAAS (زاويتان وضلع). الزاوية الثالثة تساوي 180° مطروحًا منها الزاويتان الأخريان. وتُستنتج الأضلاع المجهولة من قانون الجيوب: a / sin A = b / sin B = c / sin C.
• SSA (ضلعان وزاوية غير محصورة بينهما). هذه هي الحالة الملتبسة. يعطي قانون الجيوب جيب زاوية ثانية، مثل sin B = b × sin A / a. فإن كانت هذه القيمة أكبر من 1 فلا وجود للمثلث. وإلا فقد توجد زاوية B واحدة أو اثنتان (B و180° − B). وحين تعطي الاثنتان مثلثًا صالحًا، تعرض الأداة الحل 1 والحل 2، لكل منهما رسمه وخطواته.

والزوايا الثلاث وحدها لا تكفي: فهي تحدد الشكل، لكن المثلثات من كل الأحجام لها الزوايا نفسها.

المساحة والمحيط والارتفاعات

بعد معرفة الأضلاع الثلاثة، يكون المحيط P = a + b + c، وتُحسب المساحة بصيغة هيرون: مع نصف المحيط s = P / 2، تكون المساحة S = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). وكل ارتفاع يساوي ضعف المساحة مقسومًا على الضلع الذي يسقط عليه: h_a = 2S / a، وبالمثل لـ b وc. ففي المثلث 3-4-5 يكون s = 6، والمساحة √(6 × 3 × 2 × 1) = 6، والارتفاع على الضلع الأطول 2 × 6 / 5 = 2.4.

تُعرض النتائج بستة أرقام معنوية. وتظهر كل قيمة وسيطة في الخطوات، لتتحقق من الحل أو تنقله إلى واجبك.