Dreiecksrechner

So berechnen Sie ein Dreieck mit diesem Tool

1. Geben Sie drei beliebige bekannte Werte in die sechs Felder ein: Seite a, Seite b, Seite c, Winkel A, Winkel B und Winkel C. Mindestens einer davon muss eine Seite sein. Lassen Sie die anderen drei Felder leer.
2. Wählen Sie die Winkeleinheit: Grad oder Bogenmaß. Im Bogenmaß können Sie Werte wie 1,2, pi/3 oder 2π/3 eingeben. Beim Wechsel der Einheit werden bereits eingegebene Winkel umgerechnet, das Dreieck bleibt also dasselbe.
3. Das Dreieck wird schon beim Tippen berechnet (die Schaltfläche Berechnen bewirkt dasselbe). Das Tool nennt den erkannten Fall, zum Beispiel SWS, und zeigt die drei Seiten, die drei Winkel, den Umfang, den Flächeninhalt, die drei Höhen und die Art des Dreiecks (spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig; gleichseitig, gleichschenklig oder unregelmäßig).
4. Unter den Ergebnissen finden Sie eine maßstabsgetreue Zeichnung des Dreiecks und den Lösungsweg Schritt für Schritt. Kopieren kopiert Seiten, Winkel, Flächeninhalt und Umfang; Leeren leert alle sechs Felder.

Die Bezeichnungen folgen der üblichen Konvention: Seite a liegt Winkel A gegenüber, Seite b liegt Winkel B gegenüber und Seite c liegt Winkel C gegenüber. In der Skizze liegt Ecke A links, B rechts und C oben.

Die fünf Fälle und wie sie gelöst werden

Drei Werte legen ein Dreieck fest, sofern mindestens einer davon eine Länge ist. Je nachdem, welche Werte Sie kennen, geht das Tool anders vor (in Klammern die in Deutschland üblichen Kürzel der Kongruenzsätze):

• SSS (drei Seiten). Zuerst prüft das Tool die Dreiecksungleichung: Die beiden kürzeren Seiten müssen zusammen länger sein als die längste. Der Kosinussatz liefert dann zwei Winkel, zum Beispiel cos A = (b² + c² − a²) / (2bc), der dritte ergibt sich aus der Winkelsumme.
• SWS (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel). Der Kosinussatz liefert die fehlende Seite: a² = b² + c² − 2bc cos A. Die übrigen Winkel folgen wie bei SSS.
• WSW und WWS (zwei Winkel und eine Seite). Der dritte Winkel ist 180° minus die beiden anderen. Die fehlenden Seiten liefert der Sinussatz: a / sin A = b / sin B = c / sin C.
• SsW (zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen ihnen liegt). Das ist der mehrdeutige Fall. Der Sinussatz liefert den Sinus eines zweiten Winkels, zum Beispiel sin B = b × sin A / a. Ist dieser Wert größer als 1, gibt es kein Dreieck. Andernfalls gibt es einen Winkel B oder zwei (B und 180° − B). Ergeben beide ein gültiges Dreieck, zeigt das Tool Lösung 1 und Lösung 2, jeweils mit eigener Skizze und eigenem Rechenweg.

Drei Winkel allein reichen nicht: Sie legen die Form fest, aber ein Dreieck jeder Größe hat dieselben Winkel.

Flächeninhalt, Umfang und Höhen

Sind die drei Seiten bekannt, ist der Umfang P = a + b + c, und der Flächeninhalt S ergibt sich aus dem Satz des Heron (die Buchstaben P und S entsprechen denen im Rechenweg): Mit dem halben Umfang s = P / 2 ist S = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Jede Höhe ist der doppelte Flächeninhalt geteilt durch die Seite, auf der sie steht: h_a = 2S / a, entsprechend für b und c. Beim 3-4-5-Dreieck ist s = 6, der Flächeninhalt √(6 × 3 × 2 × 1) = 6 und die Höhe auf die längste Seite 2 × 6 / 5 = 2,4.

Die Ergebnisse werden mit sechs signifikanten Stellen angezeigt. Jeder Zwischenwert erscheint im Rechenweg, sodass Sie die Rechnung nachprüfen oder in Ihre Hausaufgabe übernehmen können.