Stelling van Pythagoras berekenen

Zo gebruik je de Pythagoras-rekenmachine

1. Typ de twee zijden die je kent in Rechthoekszijde a, Rechthoekszijde b en Schuine zijde c, en laat de zijde die je zoekt leeg. Je kunt gehele getallen typen, decimalen zoals 2,5 of breuken zoals 3/2.
2. Kies eventueel een Eenheid (mm, cm, m, km, in, ft, yd of mi). Die wordt alleen achter de antwoorden gezet; de berekening blijft hetzelfde.
3. Het antwoord verschijnt terwijl je typt (de knop Berekenen doet hetzelfde). Ontbrekende zijde toont de decimale waarde, en Exacte waarde toont de vereenvoudigde wortelvorm als de zijde geen geheel getal of eindig decimaal getal is, bijvoorbeeld 5√2.
4. Daaronder vind je de Oppervlakte, de Omtrek en de twee scherpe hoeken, een melding of de drie zijden een pythagoreïsch drietal vormen, en de volledige uitwerking onder Stap voor stap.
5. De tekening tekent de driehoek op schaal, met de onbekende zijde gestippeld en gemarkeerd. Kopiëren kopieert het antwoord; Wissen maakt de drie vakken leeg.

De stelling van Pythagoras

In een rechthoekige driehoek heet de zijde tegenover de rechte hoek de schuine zijde (hypotenusa) c; dat is altijd de langste zijde. De twee andere zijden, a en b, zijn de rechthoekszijden. De stelling zegt:

a² + b² = c²

Het vierkant op de schuine zijde heeft dezelfde oppervlakte als de twee vierkanten op de rechthoekszijden samen. Door de formule om te schrijven krijg je elke zijde:

• schuine zijde: c = √(a² + b²)
• een rechthoekszijde: a = √(c² − b²), of b = √(c² − a²)

Omdat je voor een rechthoekszijde moet aftrekken, moet de schuine zijde strikt langer zijn dan de bekende rechthoekszijde. Is dat niet zo, dan bestaat er geen rechthoekige driehoek en meldt de tool dat.

Exacte antwoorden met wortels

Deze tool rekent met exacte breuken, dus hij kan het antwoord geven in vereenvoudigde wortelvorm in plaats van alleen een afgerond decimaal getal. Met rechthoekszijden 5 en 5 is c² = 25 + 25 = 50, en omdat 50 = 5² × 2, is c = √50 = 5√2 ≈ 7,0710678. Met een rechthoekszijde van 1 en een schuine zijde van 2 is de andere rechthoekszijde √3 en de oppervlakte √3/2. Breuken gaan op dezelfde manier: rechthoekszijden 1/2 en 1/3 geven c = √13/6.

De exacte vorm is wat docenten meestal verwachten bij meetkundehuiswerk, terwijl je het decimale getal nodig hebt om een plank te zagen of een muur uit te zetten. Ook de oppervlakte en de omtrek worden exact gegeven, bijvoorbeeld 10 + 5√2 voor de omtrek van de 5-5-driehoek.

Pythagoreïsche drietallen

Een pythagoreïsch drietal is een set van drie gehele getallen die voldoen aan a² + b² = c². De bekendste zijn 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 en 7-24-25. Een drietal is primitief als de drie getallen geen gemeenschappelijke deler hebben. Vermenigvuldig je een primitief drietal met een geheel getal, dan krijg je weer een drietal: 6-8-10 is 2 × (3-4-5) en 9-12-15 is 3 × (3-4-5). Zijn alle drie de zijden gehele getallen, dan meldt deze tool of ze een primitief drietal vormen of een veelvoud daarvan.

Drietallen zijn handig op de bouwplaats: meet 3 m langs de ene muur en 4 m langs de andere, en als de diagonaal precies 5 m is, heb je een haakse hoek.

Hoeken, oppervlakte en omtrek

Als je alle drie de zijden kent, volgt de rest van de rechthoekige driehoek. De oppervlakte is de helft van het product van de rechthoekszijden, a × b ÷ 2. De omtrek is a + b + c. De scherpe hoek α, tegenover rechthoekszijde a, is arctan(a ÷ b), en de andere scherpe hoek is β = 90° − α. Voor een driehoek zonder rechte hoek gebruik je een algemene driehoekscalculator met de cosinusregel.