Калькулятор трикутника

Як розв’язати трикутник за допомогою цього інструмента

1. Введіть будь-які три відомі значення в шість полів: Сторона a, Сторона b, Сторона c, Кут A, Кут B і Кут C. Принаймні одне з них має бути стороною. Решту трьох полів залиште порожніми.
2. Виберіть Одиниця кута: Градуси або Радіани. У радіанах можна вводити значення на кшталт 1,2, pi/3 або 2π/3. Перемикання одиниці перетворює вже введені кути, тож трикутник лишається тим самим.
3. Трикутник розв’язується під час введення (кнопка Розв’язати робить те саме). Інструмент називає розпізнаний випадок, наприклад SAS, і показує три сторони, три кути, Периметр, Площа, три висоти та вид трикутника (гострокутний, прямокутний чи тупокутний; рівносторонній, рівнобедрений чи різносторонній).
4. Під результатами ви побачите малюнок трикутника в масштабі та Розв’язок покроково. Копіювати копіює сторони, кути, площу й периметр; Очистити спорожнює всі шість полів.

Позначення відповідають звичайній домовленості: сторона a лежить проти кута A, сторона b – проти кута B, а сторона c – проти кута C. На малюнку вершина A ліворуч, B праворуч, а C угорі. Усе працює у вашому браузері: нічого з того, що ви вводите, не надсилається на сервер.

П’ять випадків і як розв’язується кожен

Три значення визначають трикутник, якщо принаймні одне з них – довжина. Залежно від того, які значення вам відомі, використовується різний шлях:

• SSS (три сторони). Спершу інструмент перевіряє нерівність трикутника: дві коротші сторони в сумі мають перевищувати найдовшу. Потім теорема косинусів дає два кути, наприклад cos A = (b² + c² − a²) / (2bc), а третій випливає із суми кутів.
• SAS (дві сторони та кут між ними). Теорема косинусів дає невідому сторону: a² = b² + c² − 2bc cos A. Решта кутів знаходиться, як у випадку SSS.
• ASA і AAS (два кути та сторона). Третій кут дорівнює 180° мінус два інших. Невідомі сторони знаходяться за теоремою синусів: a / sin A = b / sin B = c / sin C.
• SSA (дві сторони та кут, що не лежить між ними). Це неоднозначний випадок. Теорема синусів дає синус другого кута, наприклад sin B = b × sin A / a. Якщо це значення більше за 1, трикутника не існує. Інакше може бути один кут B або два (B і 180° − B). Коли обидва дають коректний трикутник, інструмент показує Розв’язок 1 і Розв’язок 2, кожен зі своїм малюнком і кроками.

Самих трьох кутів недостатньо: вони визначають форму, але трикутник будь-якого розміру має ті самі кути.

Площа, периметр і висоти

Коли три сторони відомі, периметр дорівнює P = a + b + c, а площу дає формула Герона: з півпериметром s = P / 2 площа S = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Кожна висота дорівнює подвоєній площі, поділеній на сторону, до якої її проведено: h_a = 2S / a, і так само для b і c. Для трикутника 3-4-5 s = 6, площа дорівнює √(6 × 3 × 2 × 1) = 6, а висота до найдовшої сторони – 2 × 6 / 5 = 2,4.

Результати показано із шістьма значущими цифрами. Кожне проміжне значення з’являється в кроках, тож можна перевірити розв’язок або скопіювати його в домашнє завдання.