Kalkulačka trojuholníka

Ako vyriešiť trojuholník týmto nástrojom

1. Do šiestich polí zadaj ľubovoľné tri známe hodnoty: Strana a, Strana b, Strana c, Uhol A, Uhol B a Uhol C. Aspoň jedna z nich musí byť strana. Ostatné tri polia nechaj prázdne.
2. Vyber Jednotku uhla: Stupne alebo Radiány. V radiánoch môžeš písať hodnoty ako 1,2, pi/3 alebo 2π/3. Prepnutie jednotky prevedie už zadané uhly, takže trojuholník zostane rovnaký.
3. Trojuholník sa rieši počas písania (tlačidlo Vyriešiť robí to isté). Nástroj pomenuje zistený prípad, napríklad SUS, a zobrazí tri strany, tri uhly, Obvod, Obsah, tri výšky a druh trojuholníka (ostrouhlý, pravouhlý alebo tupouhlý; rovnostranný, rovnoramenný alebo rôznostranný).
4. Pod výsledkami nájdeš nákres trojuholníka v mierke a Riešenie krok za krokom. Kopírovať skopíruje strany, uhly, obsah a obvod; Vymazať vyprázdni všetkých šesť polí.

Označenie sleduje obvyklú konvenciu: strana a leží oproti uhlu A, strana b oproti uhlu B a strana c oproti uhlu C. Na nákrese je vrchol A vľavo, B vpravo a C hore.

Nástroj funguje v tvojom prehliadači. Nič, čo zadáš, sa neodosiela na server.

Päť prípadov a ako sa rieši každý z nich

Tri hodnoty určujú trojuholník, ak je aspoň jedna z nich dĺžka. Podľa toho, ktoré hodnoty poznáš, sa použije iný postup:

• SSS (tri strany). Nástroj najprv skontroluje trojuholníkovú nerovnosť: súčet dvoch kratších strán musí byť väčší ako najdlhšia strana. Kosínusová veta potom dá dva uhly, napríklad cos A = (b² + c² − a²) / (2bc), a tretí vyplýva zo súčtu uhlov.
• SUS (dve strany a uhol medzi nimi). Kosínusová veta dá chýbajúcu stranu: a² = b² + c² − 2bc cos A. Ostatné uhly vyplynú ako pri SSS.
• USU a UUS (dva uhly a strana). Tretí uhol je 180° mínus ostatné dva. Chýbajúce strany vyplynú zo sínusovej vety: a / sin A = b / sin B = c / sin C.
• SSU (dve strany a uhol, ktorý nie je medzi nimi). Ide o nejednoznačný prípad. Sínusová veta dá sínus druhého uhla, napríklad sin B = b × sin A / a. Ak je táto hodnota väčšia ako 1, trojuholník neexistuje. Inak môže existovať jeden uhol B alebo dva (B a 180° − B). Ak oba dávajú platný trojuholník, nástroj zobrazí Riešenie 1 a Riešenie 2, každé s vlastným nákresom a postupom.

Samotné tri uhly nestačia: určujú tvar, ale trojuholník ľubovoľnej veľkosti má rovnaké uhly.

Obsah, obvod a výšky

Keď sú známe tri strany, obvod je o = a + b + c a obsah vyplýva z Heronovho vzorca: s polovičným obvodom s = o / 2 je obsah S = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Každá výška je dvojnásobok obsahu delený stranou, na ktorú dopadá: v_a = 2S / a, a podobne pre b a c. Pre trojuholník 3-4-5 je s = 6, obsah je √(6 × 3 × 2 × 1) = 6 a výška na najdlhšiu stranu je 2 × 6 / 5 = 2,4.

Výsledky sa zobrazujú na šesť platných číslic. Každá medzihodnota je uvedená v postupe, takže si môžeš výpočet skontrolovať alebo skopírovať do domácej úlohy.