Calcolatrice di triangoli

Come risolvere un triangolo con questo strumento

1. Scrivi tre valori noti qualsiasi nelle sei caselle: Lato a, Lato b, Lato c, Angolo A, Angolo B e Angolo C. Almeno uno deve essere un lato. Lascia vuote le altre tre caselle.
2. Scegli l’Unità degli angoli: Gradi o Radianti. In radianti puoi scrivere valori come 1,2, pi/3 o 2π/3. Cambiando unità gli angoli già scritti vengono convertiti, quindi il triangolo resta lo stesso.
3. Il triangolo viene risolto mentre scrivi (il pulsante Risolvi fa la stessa cosa). Lo strumento indica il caso riconosciuto, ad esempio LAL, e mostra i tre lati, i tre angoli, il Perimetro, l’Area, le tre altezze e il tipo di triangolo (acutangolo, rettangolo o ottusangolo; equilatero, isoscele o scaleno).
4. Sotto i risultati trovi il disegno del triangolo in scala e la Soluzione passo per passo. Copia copia lati, angoli, area e perimetro; Cancella svuota tutte e sei le caselle.

I nomi seguono la convenzione abituale: il lato a è opposto all’angolo A, il lato b all’angolo B e il lato c all’angolo C. Nel disegno il vertice A è a sinistra, B a destra e C in alto.

I cinque casi e come si risolvono

Tre valori determinano un triangolo purché almeno uno sia una lunghezza. A seconda dei valori che conosci, si segue una strada diversa (L = lato, A = angolo; in inglese si scrive S per side):

• LLL (tre lati). Lo strumento verifica prima la disuguaglianza triangolare: la somma dei due lati più corti deve superare il lato più lungo. Il teorema del coseno (o di Carnot) dà poi due angoli, ad esempio cos A = (b² + c² − a²) / (2bc), e il terzo si ricava dalla somma degli angoli.
• LAL (due lati e l’angolo compreso). Il teorema del coseno dà il lato mancante: a² = b² + c² − 2bc cos A. Gli altri angoli si trovano come nel caso LLL.
• ALA e AAL (due angoli e un lato). Il terzo angolo è 180° meno gli altri due. I lati mancanti si ricavano dal teorema dei seni: a / sin A = b / sin B = c / sin C.
• LLA (due lati e un angolo non compreso tra loro). È il caso ambiguo. Il teorema dei seni dà il seno di un secondo angolo, ad esempio sin B = b × sin A / a. Se questo valore supera 1, non esiste alcun triangolo. Altrimenti l’angolo B può essere uno solo oppure due (B e 180° − B). Quando entrambi danno un triangolo valido, lo strumento mostra Soluzione 1 e Soluzione 2, ognuna con il suo disegno e i suoi passaggi.

Tre angoli da soli non bastano: fissano la forma, ma un triangolo di qualsiasi grandezza ha gli stessi angoli.

Area, perimetro e altezze

Una volta noti i tre lati, il perimetro è P = a + b + c e l’area si ottiene con la formula di Erone: con il semiperimetro p = P / 2, l’area è S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Ogni altezza è il doppio dell’area diviso il lato su cui cade: h_a = 2S / a, e allo stesso modo per b e c. Per un triangolo 3-4-5, p = 6, l’area è √(6 × 3 × 2 × 1) = 6 e l’altezza relativa al lato più lungo è 2 × 6 / 5 = 2,4.

I risultati sono mostrati con sei cifre significative. Ogni valore intermedio compare nei passaggi, così puoi controllare lo svolgimento o ricopiarlo nei compiti.