Utilia
Категории ▾
Јазик: mk ▾

Калкулатор за квадратна равенка

Решете секоја квадратна равенка ax² + bx + c = 0 со дискриминанта, точни корени со радикали, комплексни корени, теменски и разложен облик и график.

Равенка ax² + bx + c = 0

Се прифаќаат цели броеви, децимали и дропки како 1/2. Празно b или c се смета за 0.

Примери

–

    Решение чекор по чекор

    Како се користи калкулаторот за квадратна равенка

    1. Внесете ги трите коефициенти на ax² + bx + c = 0 во Коефициент a, Коефициент b и Коефициент c. Се прифаќаат цели броеви, децимали и дропки како 1/2, а празно b или c се смета за 0.
    2. Одговорот се ажурира додека пишувате; Реши прави исто. Избриши ги празни трите полиња, а Копирај ја копира равенката и нејзините решенија.
    3. Прочитајте ги Решенија: секој корен е прикажан во точен облик, а потоа и со децимално приближување кога точната вредност не е краток децимален број.
    4. Подолу алатката ги наведува Дискриминанта Δ, Теме, Оска на симетрија, Пресек со y-оската, насоката во која се отвора параболата и збирот и производот на корените. Следуваат трите Облици на функцијата (стандарден, теменски и разложен) и График на параболата.
    5. Решение чекор по чекор ја повторува целата постапка: дискриминанта, квадратен корен од Δ, формула за квадратна равенка, двата корена, теме, разложен облик и проверка.

    Копчињата Примери вчитуваат типични случаи: два корена од цели броеви, двоен корен, комплексни корени и ирационални корени.

    Формулата за квадратна равенка и дискриминантата

    Квадратната равенка има облик ax² + bx + c = 0 со a ≠ 0. Нејзините решенија ги дава формулата:

    x = (−b ± √Δ) / (2a), каде Δ = b² − 4ac

    Дискриминантата Δ одлучува за сè:

    • Δ > 0: два различни реални корена. Ако Δ е точен квадрат (а коефициентите се рационални), корените се рационални и полиномот убаво се разложува, на пример x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
    • Δ = 0: еден двоен корен, x = −b / (2a). Параболата ја допира x-оската во своето теме.
    • Δ < 0: нема реален корен. Квадратниот корен од негативен број е имагинарен, √Δ = i√|Δ|, па корените се два конјугирано комплексни броја, како −1 ± 2i.

    Алатката пресметува со точни дропки, па никогаш не губи прецизност. Кога √Δ не е цел број, го упростува радикалот (√32 = 4√2) и го скратува резултатот: x² + 3x + 1 = 0 дава x = (−3 ± √5)/2, а x² − 8 = 0 дава x = ±2√2.

    Теменски облик, разложен облик и график

    Теменскиот облик a(x − h)² + k директно го покажува темето (h, k), со h = −b / (2a) и k = −Δ / (4a). Правата x = h е оската на симетрија: двата корена се на исто растојание од неа. Кога a > 0, параболата се отвора нагоре и k е нејзиниот минимум; кога a < 0, се отвора надолу и k е нејзиниот максимум.

    Разложениот облик a(x − x₁)(x − x₂) ги користи корените. Со рационални корени алатката пишува множители со цели броеви, на пример 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Кога Δ < 0, не може да се разложи над реалните броеви и алатката го кажува тоа пред да ги прикаже комплексните множители.

    Графикот е нацртан во размер околу темето и корените. Сините точки ги означуваат реалните корени, портокаловата точка го означува темето, а испрекинатата линија е оската на симетрија.

    Како завршна проверка алатката ги применува Виетовите формули: x₁ + x₂ = −b/a и x₁ × x₂ = c/a.

    Алатката работи во вашиот прелистувач. Ништо од внесеното не се испраќа на сервер.

    Често поставувани прашања

    Што се случува ако a = 0?

    Равенката тогаш е линеарна, bx + c = 0, и алатката ја решава како таква: x = −c / b. Ако и b е 0, или секој број е решение (c = 0) или нема решение (c ≠ 0).

    Зошто добивам резултат со i?

    Буквата i е имагинарната единица, со i² = −1. Се појавува кога дискриминантата е негативна: параболата никогаш не ја сече x-оската, па нема реално решение, но има две комплексни.

    Можам ли да внесам децимали или дропки како коефициенти?

    Да. Внесете 0,5, 1/3 или −2,25; пресметката останува точна бидејќи секој коефициент најпрво се претвора во дропка.

    Колку се точни децималните вредности?

    Точниот облик е секогаш точен. Децималните приближувања се заокружуваат на седум значајни цифри, што е доволно за домашни и повеќето практични употреби.

    Како да го најдам темето на парабола?

    Користете h = −b / (2a), потоа k = f(h), што е исто и −Δ / (4a). Алатката ги прикажува двете формули со вашите броеви во решението чекор по чекор.

    Дали двојниот корен се брои еднаш или двапати?

    Како решение на равенката тој е една вредност, прикажана еднаш. Како корен на полиномот има кратност два, па затоа разложениот облик содржи квадрат, како 2(x − 1)².

    Поврзани алатки