Equazioni di secondo grado – soluzioni, delta e grafico

Q: Cosa succede se a = 0?

L'equazione diventa di primo grado, bx + c = 0, e lo strumento la risolve come tale: x = −c / b. Se anche b è 0, o ogni numero è soluzione c = 0 oppure non ce n'è nessuna c ≠ 0 .

Q: Perché ottengo un risultato con la i?

La lettera i è l'unità immaginaria, con i² = −1. Compare quando il discriminante è negativo: la parabola non taglia mai l'asse x, quindi non ci sono soluzioni reali, ma ce ne sono due complesse.

Q: Posso inserire decimali o frazioni come coefficienti?

Sì. Scrivi 0,5, 1/3 o −2,25; il calcolo resta esatto perché ogni coefficiente viene prima trasformato in frazione.

Q: Quanto sono precisi i valori decimali?

La forma esatta è sempre corretta. Le approssimazioni decimali sono arrotondate a sette cifre significative, più che sufficienti per i compiti e per la maggior parte degli usi pratici.

Q: Come trovo il vertice di una parabola?

Usa h = −b / 2a , poi k = f h , che vale anche −Δ / 4a . Lo strumento mostra entrambe le formule con i tuoi numeri nella soluzione passo per passo.

Q: La radice doppia si conta una o due volte?

Come soluzione dell'equazione è un unico valore, mostrato una volta. Come radice del polinomio ha molteplicità due, ed è per questo che la forma fattorizzata contiene un quadrato, come 2 x − 1 ².

Risolutore di equazioni di secondo grado

Risolvi qualsiasi equazione di secondo grado ax² + bx + c = 0 con delta, radici esatte, radici complesse, vertice, forma fattorizzata e grafico.

Equazione ax² + bx + c = 0

a b c

Sono accettati interi, decimali e frazioni come 1/2. Un b o un c vuoto vale 0.

Esempi

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Soluzione passo per passo

Come usare il risolutore di equazioni di secondo grado

Scrivi i tre coefficienti di ax² + bx + c = 0 in Coefficiente a, Coefficiente b e Coefficiente c. Sono accettati interi, decimali (con la virgola o con il punto) e frazioni come 1/2; un b o un c lasciato vuoto vale 0.
La risposta si aggiorna mentre scrivi; Risolvi fa la stessa cosa. Cancella svuota le tre caselle e Copia copia l’equazione con le sue soluzioni.
Leggi le Soluzioni: ogni radice è mostrata in forma esatta, seguita da un’approssimazione decimale quando il valore esatto non è un decimale breve.
Più sotto lo strumento elenca il Discriminante Δ, il Vertice, l’Asse di simmetria, l’Intersezione con l’asse y, la concavità della parabola e la somma e il prodotto delle radici. Seguono le tre Forme della funzione (standard, canonica e fattorizzata) e un Grafico della parabola.
La Soluzione passo per passo ripete tutto lo svolgimento: discriminante, radice quadrata di Δ, formula risolutiva, le due radici, vertice, forma fattorizzata e una verifica.

I pulsanti Esempi caricano i casi tipici: due radici intere, una radice doppia, radici complesse e radici irrazionali.

La formula risolutiva e il discriminante

Un’equazione di secondo grado ha la forma ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0. Le soluzioni si trovano con la formula risolutiva:

x = (−b ± √Δ) / (2a), dove Δ = b² − 4ac

Il discriminante Δ (il “delta”) decide tutto:

Δ > 0: due radici reali distinte. Se Δ è un quadrato perfetto (e i coefficienti sono razionali), le radici sono razionali e il polinomio si scompone in modo pulito, ad esempio x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Δ = 0: una radice doppia, x = −b / (2a). La parabola tocca l’asse x nel suo vertice.
Δ < 0: nessuna radice reale. La radice quadrata di un numero negativo è immaginaria, √Δ = i√|Δ|, quindi le radici sono due complesse coniugate come −1 ± 2i.

Lo strumento calcola con frazioni esatte, quindi non perde mai precisione. Quando √Δ non è un numero intero, semplifica il radicale (√32 = 4√2) e riduce il risultato: x² + 3x + 1 = 0 dà x = (−3 ± √5)/2, e x² − 8 = 0 dà x = ±2√2.

Forma canonica, forma fattorizzata e grafico

La forma canonica a(x − h)² + k mostra subito il vertice (h, k), con h = −b / (2a) e k = −Δ / (4a). La retta x = h è l’asse di simmetria: le due radici sono alla stessa distanza da essa. Quando a > 0 la parabola ha la concavità verso l’alto e k è il suo minimo; quando a < 0 ha la concavità verso il basso e k è il suo massimo.

La forma fattorizzata a(x − x₁)(x − x₂) usa le radici. Con radici razionali lo strumento scrive fattori a coefficienti interi, ad esempio 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Quando Δ < 0 il polinomio non si scompone nei reali, e lo strumento lo dice prima di mostrare i fattori complessi.

Il grafico è disegnato in scala attorno al vertice e alle radici. I punti blu segnano le radici reali, il punto arancione il vertice e la linea tratteggiata l’asse di simmetria.

Come verifica finale lo strumento applica le relazioni di Viète tra radici e coefficienti: x₁ + x₂ = −b/a e x₁ × x₂ = c/a.

Domande frequenti

Cosa succede se a = 0?

L’equazione diventa di primo grado, bx + c = 0, e lo strumento la risolve come tale: x = −c / b. Se anche b è 0, o ogni numero è soluzione (c = 0) oppure non ce n’è nessuna (c ≠ 0).

Perché ottengo un risultato con la i?

La lettera i è l’unità immaginaria, con i² = −1. Compare quando il discriminante è negativo: la parabola non taglia mai l’asse x, quindi non ci sono soluzioni reali, ma ce ne sono due complesse.

Posso inserire decimali o frazioni come coefficienti?

Sì. Scrivi 0,5, 1/3 o −2,25; il calcolo resta esatto perché ogni coefficiente viene prima trasformato in frazione.

Quanto sono precisi i valori decimali?

La forma esatta è sempre corretta. Le approssimazioni decimali sono arrotondate a sette cifre significative, più che sufficienti per i compiti e per la maggior parte degli usi pratici.

Come trovo il vertice di una parabola?

Usa h = −b / (2a), poi k = f(h), che vale anche −Δ / (4a). Lo strumento mostra entrambe le formule con i tuoi numeri nella soluzione passo per passo.

La radice doppia si conta una o due volte?

Come soluzione dell’equazione è un unico valore, mostrato una volta. Come radice del polinomio ha molteplicità due, ed è per questo che la forma fattorizzata contiene un quadrato, come 2(x − 1)².