Utilia
Kategorijas ▾
Valoda: lv ▾

Kvadrātvienādojuma risinātājs

Atrisiniet jebkuru kvadrātvienādojumu ax² + bx + c = 0: diskriminants, precīzas saknes, kompleksās saknes, virsotnes veids, sadalījums reizinātājos un grafiks.

Vienādojums ax² + bx + c = 0

Der veseli skaitļi, decimālskaitļi un daļas, piemēram, 1/2. Tukšs b vai c tiek uzskatīts par 0.

Piemēri

–

    Risinājums soli pa solim

    Kā lietot kvadrātvienādojuma risinātāju

    1. Ierakstiet vienādojuma ax² + bx + c = 0 trīs koeficientus laukos Koeficients a, Koeficients b un Koeficients c. Der veseli skaitļi, decimālskaitļi un daļas, piemēram, 1/2; tukšs b vai c tiek uzskatīts par 0.
    2. Atbilde atjaunojas rakstot; Atrisināt dara to pašu. Notīrīt iztukšo trīs laukus, bet Kopēt nokopē vienādojumu un tā atrisinājumus.
    3. Izlasiet Atrisinājumi: katra sakne tiek parādīta precīzā veidā, bet pēc tās – decimālais tuvinājums, ja precīzā vērtība nav īss decimālskaitlis.
    4. Zemāk rīks uzskaita Diskriminants Δ, Virsotne, Simetrijas ass, Krustpunkts ar y asi, parabolas zaru virzienu, kā arī sakņu summu un reizinājumu. Tālāk seko trīs Funkcijas pieraksta veidi (standartveids, virsotnes veids un sadalījums reizinātājos) un Parabolas grafiks.
    5. Risinājums soli pa solim atkārto visu gaitu: diskriminants, Δ kvadrātsakne, sakņu formula, abas saknes, virsotne, sadalījums reizinātājos un pārbaude.

    Pogas Piemēri ielādē tipiskus gadījumus: divas veselas saknes, dubultsakni, kompleksās saknes un iracionālas saknes. Rīks darbojas jūsu pārlūkprogrammā, un nekas, ko ievadāt, netiek sūtīts uz serveri.

    Sakņu formula un diskriminants

    Kvadrātvienādojumam ir veids ax² + bx + c = 0, kur a ≠ 0. Tā atrisinājumus dod sakņu formula:

    x = (−b ± √Δ) / (2a), kur Δ = b² − 4ac

    Visu nosaka diskriminants Δ:

    • Δ > 0: divas dažādas reālas saknes. Ja Δ ir pilns kvadrāts (un koeficienti ir racionāli), saknes ir racionālas un polinoms labi sadalās reizinātājos, piemēram, x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
    • Δ = 0: viena dubultsakne x = −b / (2a). Parabola pieskaras x asij savā virsotnē.
    • Δ < 0: reālu sakņu nav. Negatīva skaitļa kvadrātsakne ir imaginārs skaitlis, √Δ = i√|Δ|, tāpēc saknes ir divi kompleksi saistīti skaitļi, piemēram, −1 ± 2i.

    Rīks rēķina ar precīzām daļām, tāpēc nekad nezaudē precizitāti. Ja √Δ nav vesels skaitlis, tas vienkāršo sakni (√32 = 4√2) un saīsina rezultātu: x² + 3x + 1 = 0 dod x = (−3 ± √5)/2, bet x² − 8 = 0 dod x = ±2√2.

    Virsotnes veids, sadalījums reizinātājos un grafiks

    Virsotnes veids a(x − h)² + k tieši parāda virsotni (h, k), kur h = −b / (2a) un k = −Δ / (4a). Taisne x = h ir simetrijas ass: abas saknes atrodas vienādā attālumā no tās. Ja a > 0, parabolas zari vērsti uz augšu un k ir minimums; ja a < 0, zari vērsti uz leju un k ir maksimums.

    Sadalījums reizinātājos a(x − x₁)(x − x₂) izmanto saknes. Ja saknes ir racionālas, rīks raksta veselus reizinātājus, piemēram, 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Ja Δ < 0, polinomu nevar sadalīt reizinātājos pār reālajiem skaitļiem, un rīks to paziņo, pirms parāda kompleksos reizinātājus.

    Grafiks tiek zīmēts mērogā ap virsotni un saknēm. Zilie punkti norāda reālās saknes, oranžais punkts – virsotni, bet raustītā līnija ir simetrijas ass.

    Kā pēdējo pārbaudi rīks izmanto Vjeta formulas: x₁ + x₂ = −b/a un x₁ × x₂ = c/a.

    Biežāk uzdotie jautājumi

    Kas notiek, ja a = 0?

    Tad vienādojums ir lineārs, bx + c = 0, un rīks to atrisina kā tādu: x = −c / b. Ja arī b ir 0, tad vai nu katrs skaitlis ir atrisinājums (c = 0), vai atrisinājuma nav (c ≠ 0).

    Kāpēc rezultātā ir burts i?

    Burts i ir imaginārā vienība, i² = −1. Tas parādās, kad diskriminants ir negatīvs: parabola nekad nešķērso x asi, tāpēc reāla atrisinājuma nav, bet ir divi kompleksi.

    Vai koeficientos drīkst ievadīt decimālskaitļus vai daļas?

    Jā. Ierakstiet 0,5, 1/3 vai −2,25; aprēķins paliek precīzs, jo katrs koeficients vispirms tiek pārveidots par daļu.

    Cik precīzas ir decimālvērtības?

    Precīzais veids vienmēr ir pareizs. Decimālie tuvinājumi tiek noapaļoti līdz septiņiem nozīmīgiem cipariem, kas pietiek mājasdarbiem un lielākajai daļai praktisku vajadzību.

    Kā atrast parabolas virsotni?

    Izmantojiet h = −b / (2a), pēc tam k = f(h), kas vienāds arī ar −Δ / (4a). Rīks abas formulas ar jūsu skaitļiem parāda risinājumā soli pa solim.

    Vai dubultsakni skaita vienreiz vai divreiz?

    Kā vienādojuma atrisinājums tā ir viena vērtība, un tā tiek parādīta vienu reizi. Kā polinoma sakne tai ir kārtība divi, tāpēc sadalījumā reizinātājos ir kvadrāts, piemēram, 2(x − 1)².

    Saistītie rīki