Equação do 2.º grau – fórmula resolvente e discriminante

Q: O que acontece se a = 0?

A equação passa a ser do 1.º grau, bx + c = 0, e a ferramenta resolve a como tal: x = −c / b. Se b também for 0, ou qualquer número é solução c = 0 ou não há nenhuma c ≠ 0 .

Q: Porque é que obtenho um resultado com i?

A letra i é a unidade imaginária, com i² = −1. Aparece quando o discriminante é negativo: a parábola nunca cruza o eixo dos x, por isso não há solução real, mas há duas soluções complexas.

Q: Posso introduzir decimais ou frações como coeficientes?

Sim. Escreve 0,5, 1/3 ou −2,25; o cálculo continua exato porque cada coeficiente é primeiro convertido numa fração.

Q: Qual é a precisão dos valores decimais?

A forma exata está sempre correta. As aproximações decimais são arredondadas a sete algarismos significativos, o que chega para os trabalhos de casa e para a maioria das utilizações práticas.

Q: Como encontro o vértice de uma parábola?

Usa h = −b / 2a e depois k = f h , que também é igual a −Δ / 4a . A ferramenta mostra as duas fórmulas com os teus números na resolução passo a passo.

Q: A raiz dupla conta uma ou duas vezes?

Como solução da equação, é um único valor e aparece uma vez. Como raiz do polinómio, tem multiplicidade dois, e é por isso que a forma fatorizada contém um quadrado, como 2 x − 1 ².

Resolver equações do 2.º grau

Resolve qualquer equação do 2.º grau ax² + bx + c = 0 com o discriminante, raízes exatas, raízes complexas, forma canónica, forma fatorizada e gráfico.

Equação ax² + bx + c = 0

a b c

São aceites números inteiros, decimais e frações como 1/2. Um b ou c vazio conta como 0.

Exemplos

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Resolução passo a passo

Como resolver uma equação do 2.º grau com esta ferramenta

Escreve os três coeficientes de ax² + bx + c = 0 em Coeficiente a, Coeficiente b e Coeficiente c. São aceites números inteiros, decimais e frações como 1/2, e um b ou c vazio conta como 0.
A resposta atualiza-se enquanto escreves; Resolver faz o mesmo. Limpar esvazia as três caixas e Copiar copia a equação e as suas soluções.
Lê as Soluções: cada raiz é mostrada na forma exata, seguida de uma aproximação decimal quando o valor exato não é um decimal curto.
Mais abaixo, a ferramenta indica o Discriminante Δ, o Vértice, o Eixo de simetria, a Ordenada na origem, a concavidade da parábola e a soma e o produto das raízes. Seguem-se as três Formas da função (geral, canónica e fatorizada) e um Gráfico da parábola.
A Resolução passo a passo repete todo o cálculo: discriminante, raiz quadrada de Δ, fórmula resolvente, as duas raízes, vértice, forma fatorizada e uma verificação.

Os botões de Exemplos carregam casos típicos: duas raízes inteiras, uma raiz dupla, raízes complexas e raízes irracionais.

A fórmula resolvente e o discriminante

Uma equação do 2.º grau tem a forma ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. As suas soluções são dadas pela fórmula resolvente:

x = (−b ± √Δ) / (2a), em que Δ = b² − 4ac

O discriminante Δ decide tudo:

Δ > 0: duas raízes reais distintas. Se Δ for um quadrado perfeito (e os coeficientes forem racionais), as raízes são racionais e o polinómio fatoriza-se facilmente, por exemplo x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Δ = 0: uma raiz dupla, x = −b / (2a). A parábola toca no eixo dos x no seu vértice.
Δ < 0: nenhuma raiz real. A raiz quadrada de um número negativo é imaginária, √Δ = i√|Δ|, por isso as raízes são dois complexos conjugados, como −1 ± 2i.

A ferramenta calcula com frações exatas e por isso nunca perde precisão. Quando √Δ não é um número inteiro, simplifica o radical (√32 = 4√2) e reduz o resultado: x² + 3x + 1 = 0 dá x = (−3 ± √5)/2, e x² − 8 = 0 dá x = ±2√2.

Forma canónica, forma fatorizada e gráfico

A forma canónica a(x − h)² + k mostra diretamente o vértice (h, k), com h = −b / (2a) e k = −Δ / (4a). A reta x = h é o eixo de simetria: as duas raízes estão à mesma distância dela. Quando a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima e k é o seu mínimo; quando a < 0, tem a concavidade voltada para baixo e k é o seu máximo.

A forma fatorizada a(x − x₁)(x − x₂) usa as raízes. Com raízes racionais, a ferramenta escreve fatores inteiros, por exemplo 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Quando Δ < 0, o polinómio não pode ser fatorizado nos números reais, e a ferramenta indica-o antes de mostrar os fatores complexos.

O gráfico é desenhado à escala em torno do vértice e das raízes. Os pontos azuis marcam as raízes reais, o ponto laranja marca o vértice e a linha tracejada é o eixo de simetria.

Como verificação final, a ferramenta aplica as fórmulas de Viète: x₁ + x₂ = −b/a e x₁ × x₂ = c/a.

Perguntas frequentes

O que acontece se a = 0?

A equação passa a ser do 1.º grau, bx + c = 0, e a ferramenta resolve-a como tal: x = −c / b. Se b também for 0, ou qualquer número é solução (c = 0) ou não há nenhuma (c ≠ 0).

Porque é que obtenho um resultado com i?

A letra i é a unidade imaginária, com i² = −1. Aparece quando o discriminante é negativo: a parábola nunca cruza o eixo dos x, por isso não há solução real, mas há duas soluções complexas.

Posso introduzir decimais ou frações como coeficientes?

Sim. Escreve 0,5, 1/3 ou −2,25; o cálculo continua exato porque cada coeficiente é primeiro convertido numa fração.

Qual é a precisão dos valores decimais?

A forma exata está sempre correta. As aproximações decimais são arredondadas a sete algarismos significativos, o que chega para os trabalhos de casa e para a maioria das utilizações práticas.

Como encontro o vértice de uma parábola?

Usa h = −b / (2a) e depois k = f(h), que também é igual a −Δ / (4a). A ferramenta mostra as duas fórmulas com os teus números na resolução passo a passo.

A raiz dupla conta uma ou duas vezes?

Como solução da equação, é um único valor e aparece uma vez. Como raiz do polinómio, tem multiplicidade dois, e é por isso que a forma fatorizada contém um quadrado, como 2(x − 1)².