Utilia
Kategóriák ▾
Nyelv: hu ▾

Másodfokú egyenlet megoldó

Oldd meg az ax² + bx + c = 0 másodfokú egyenletet: diszkrimináns, pontos gyökök, komplex gyökök, csúcsalak, gyöktényezős alak és grafikon.

Egyenlet: ax² + bx + c = 0

Egész számok, tizedes törtek és törtek (pl. 1/2) is elfogadottak. Az üres b vagy c értéke 0.

Példák

–

    Megoldás lépésről lépésre

    A másodfokú egyenlet megoldó használata

    1. Írd be az ax² + bx + c = 0 egyenlet három együtthatóját az a együttható, b együttható és c együttható mezőbe. Egész számok, tizedes törtek és törtek (például 1/2) is elfogadottak, az üres b vagy c értéke 0.
    2. A válasz gépelés közben frissül; a Megoldás gomb ugyanezt teszi. A Törlés kiüríti a három mezőt, a Másolás pedig az egyenletet és megoldásait másolja.
    3. Olvasd le a Megoldásokat: minden gyök pontos alakban jelenik meg, és ha a pontos érték nem rövid tizedes tört, mellette a tizedes közelítés is.
    4. Lejjebb az eszköz felsorolja a Diszkrimináns Δ értékét, a Csúcspontot, a Szimmetriatengelyt, az y-tengelymetszetet, a parabola nyitásának irányát, valamint a gyökök összegét és szorzatát. Ezután következik A függvény alakjai (normálalak, csúcsalak és gyöktényezős alak) és A parabola grafikonja.
    5. A Megoldás lépésről lépésre megismétli a teljes levezetést: diszkrimináns, a Δ négyzetgyöke, megoldóképlet, mindkét gyök, csúcspont, gyöktényezős alak és ellenőrzés.

    A Példák gombok tipikus eseteket töltenek be: két egész gyök, kétszeres gyök, komplex gyökök és irracionális gyökök. Az eszköz a böngésződben fut, a beírt adatok nem kerülnek feltöltésre.

    A megoldóképlet és a diszkrimináns

    A másodfokú egyenlet alakja ax² + bx + c = 0, ahol a ≠ 0. A megoldásokat a megoldóképlet adja:

    x = (−b ± √Δ) / (2a), ahol Δ = b² − 4ac

    A Δ diszkrimináns mindent eldönt:

    • Δ > 0: két különböző valós gyök. Ha a Δ négyzetszám (és az együtthatók racionálisak), a gyökök racionálisak, és a polinom szépen szorzattá bontható, például x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
    • Δ = 0: egy kétszeres gyök, x = −b / (2a). A parabola a csúcspontjában érinti az x-tengelyt.
    • Δ < 0: nincs valós gyök. Negatív szám négyzetgyöke képzetes, √Δ = i√|Δ|, így a gyökök két komplex konjugált szám, például −1 ± 2i.

    Az eszköz pontos törtekkel számol, ezért soha nem veszít a pontosságból. Ha a √Δ nem egész szám, egyszerűsíti a gyököt (√32 = 4√2), és egyszerűsíti az eredményt: az x² + 3x + 1 = 0 megoldása x = (−3 ± √5)/2, az x² − 8 = 0 megoldása pedig x = ±2√2.

    Csúcsalak, gyöktényezős alak és grafikon

    A csúcsalak (teljes négyzetes alak), a(x − h)² + k, közvetlenül megmutatja a (h, k) csúcspontot, ahol h = −b / (2a) és k = −Δ / (4a). Az x = h egyenes a szimmetriatengely: mindkét gyök ugyanolyan távol van tőle. Ha a > 0, a parabola felfelé nyílik, és k a minimuma; ha a < 0, lefelé nyílik, és k a maximuma.

    A gyöktényezős alak, a(x − x₁)(x − x₂), a gyököket használja. Racionális gyököknél az eszköz egész együtthatós tényezőket ír, például 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Ha Δ < 0, a polinom a valós számok felett nem bontható tényezőkre, és az eszköz ezt jelzi, mielőtt megmutatná a komplex tényezőket.

    A grafikon méretarányosan a csúcspont és a gyökök körül készül. A kék pontok a valós gyököket, a narancssárga pont a csúcspontot, a szaggatott vonal pedig a szimmetriatengelyt jelöli.

    Végső ellenőrzésként az eszköz a Viète-formulákat alkalmazza: x₁ + x₂ = −b/a és x₁ × x₂ = c/a.

    Gyakori kérdések

    Mi történik, ha a = 0?

    Ekkor az egyenlet elsőfokú, bx + c = 0, és az eszköz ennek megfelelően oldja meg: x = −c / b. Ha a b is 0, akkor vagy minden szám megoldás (c = 0), vagy nincs megoldás (c ≠ 0).

    Miért kapok i-t tartalmazó eredményt?

    Az i a képzetes egység, i² = −1. Akkor jelenik meg, ha a diszkrimináns negatív: a parabola sosem metszi az x-tengelyt, tehát nincs valós megoldás, de van két komplex.

    Megadhatok tizedes törtet vagy törtet együtthatóként?

    Igen. Írd be például: 0,5, 1/3 vagy −2,25; a számítás pontos marad, mert minden együtthatót először törtté alakít.

    Mennyire pontosak a tizedes értékek?

    A pontos alak mindig helyes. A tizedes közelítéseket hét értékes jegyre kerekítjük, ami a házi feladatokhoz és a legtöbb gyakorlati célra elég.

    Hogyan találom meg a parabola csúcspontját?

    Használd a h = −b / (2a) képletet, majd k = f(h), ami −Δ / (4a)-val is egyenlő. Az eszköz mindkét képletet a te számaiddal mutatja a lépésenkénti megoldásban.

    A kétszeres gyököt egyszer vagy kétszer számoljuk?

    Az egyenlet megoldásaként egyetlen érték, ezért egyszer jelenik meg. A polinom gyökeként viszont kétszeres multiplicitású, ezért tartalmaz a gyöktényezős alak négyzetet, például 2(x − 1)².

    Kapcsolódó eszközök