Utilia
Kategorie ▾
Jazyk: cs ▾

Kvadratická rovnice

Řešení kvadratické rovnice ax² + bx + c = 0: diskriminant, přesné kořeny v tvaru odmocnin, komplexní kořeny, vrcholový a součinový tvar a graf paraboly.

Rovnice ax² + bx + c = 0

Přijímají se celá čísla, desetinná čísla i zlomky jako 1/2. Prázdné b nebo c se bere jako 0.

Příklady

–

    Řešení krok za krokem

    Jak používat řešič kvadratických rovnic

    1. Do polí Koeficient a, Koeficient b a Koeficient c napiš tři koeficienty rovnice ax² + bx + c = 0. Přijímají se celá čísla, desetinná čísla i zlomky jako 1/2 a prázdné b nebo c se bere jako 0.
    2. Odpověď se aktualizuje při psaní; tlačítko Vyřešit dělá totéž. Vymazat vyprázdní tři pole a Kopírovat zkopíruje rovnici a její řešení.
    3. Přečti si Řešení: každý kořen je uveden v přesném tvaru, a pokud přesná hodnota není krátké desetinné číslo, následuje desetinné přiblížení.
    4. Níže nástroj uvádí Diskriminant D, Vrchol, Osu souměrnosti, Průsečík s osou y, směr, kterým je parabola otevřená, a součet a součin kořenů. Následují tři Tvary funkce (obecný, vrcholový a součinový) a Graf paraboly.
    5. Řešení krok za krokem zopakuje celý postup: diskriminant, odmocninu z D, vzorec pro kořeny, oba kořeny, vrchol, součinový tvar a zkoušku.

    Tlačítka Příklady načtou typické případy: dva celočíselné kořeny, dvojnásobný kořen, komplexní kořeny a iracionální kořeny. Všechno běží ve tvém prohlížeči a nic, co zadáš, se neodesílá na server.

    Vzorec pro kořeny a diskriminant

    Kvadratická rovnice má tvar ax² + bx + c = 0, kde a ≠ 0. Její řešení dává vzorec

    x = (−b ± √D) / (2a), kde D = b² − 4ac

    O všem rozhoduje diskriminant D:

    • D > 0: dva různé reálné kořeny. Je-li D druhou mocninou celého čísla (a koeficienty jsou racionální), jsou kořeny racionální a polynom se hezky rozloží, například x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
    • D = 0: jeden dvojnásobný kořen, x = −b / (2a). Parabola se dotýká osy x ve svém vrcholu.
    • D < 0: žádný reálný kořen. Odmocnina ze záporného čísla je imaginární, √D = i√|D|, takže kořeny jsou dvě komplexně sdružená čísla, například −1 ± 2i.

    Nástroj počítá s přesnými zlomky, takže nikdy neztrácí přesnost. Pokud √D není celé číslo, odmocninu zjednoduší (√32 = 4√2) a výsledek zkrátí: x² + 3x + 1 = 0 dává x = (−3 ± √5)/2 a x² − 8 = 0 dává x = ±2√2.

    Vrcholový tvar, součinový tvar a graf

    Vrcholový tvar a(x − h)² + k ukazuje přímo vrchol (h, k), kde h = −b / (2a) a k = −D / (4a). Přímka x = h je osa souměrnosti: oba kořeny jsou od ní stejně daleko. Pro a > 0 je parabola otevřená nahoru a k je její minimum; pro a < 0 je otevřená dolů a k je její maximum.

    Součinový tvar a(x − x₁)(x − x₂) využívá kořeny. U racionálních kořenů nástroj zapíše celočíselné činitele, například 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Pro D < 0 jej nelze v reálných číslech rozložit a nástroj to uvede dříve, než ukáže komplexní činitele.

    Graf se kreslí v měřítku kolem vrcholu a kořenů. Modré body označují reálné kořeny, oranžový bod vrchol a čárkovaná čára osu souměrnosti.

    Nakonec nástroj provede zkoušku pomocí Viètových vzorců: x₁ + x₂ = −b/a a x₁ × x₂ = c/a.

    Časté dotazy

    Co se stane, když je a = 0?

    Rovnice je pak lineární, bx + c = 0, a nástroj ji tak vyřeší: x = −c / b. Je-li i b rovno 0, buď je řešením každé číslo (c = 0), nebo žádné (c ≠ 0).

    Proč dostanu výsledek s i?

    Písmeno i je imaginární jednotka, i² = −1. Objeví se, když je diskriminant záporný: parabola osu x nikdy neprotíná, takže neexistuje reálné řešení, ale existují dvě komplexní.

    Mohu jako koeficienty zadat desetinná čísla nebo zlomky?

    Ano. Napiš 0,5, 1/3 nebo −2,25; výpočet zůstane přesný, protože se každý koeficient nejdřív převede na zlomek.

    Jak přesné jsou desetinné hodnoty?

    Přesný tvar je vždy správný. Desetinná přiblížení se zaokrouhlují na sedm platných číslic, což stačí na domácí úkoly i většinu praktických použití.

    Jak najdu vrchol paraboly?

    Použij h = −b / (2a) a pak k = f(h), což se rovná také −D / (4a). Nástroj ukazuje oba vzorce s tvými čísly v řešení krok za krokem.

    Počítá se dvojnásobný kořen jednou, nebo dvakrát?

    Jako řešení rovnice je to jediná hodnota, uvedená jednou. Jako kořen polynomu má násobnost dvě, a proto součinový tvar obsahuje druhou mocninu, například 2(x − 1)².

    Související nástroje