Zgjidhës ekuacioni kuadratik – rrënjët, diskriminanti

Q: Çfarë ndodh nëse a = 0?

Atëherë ekuacioni është linear, bx + c = 0, dhe mjeti e zgjidh si të tillë: x = −c / b. Nëse edhe b është 0, ose çdo numër është zgjidhje c = 0 ose nuk ka asnjë c ≠ 0 .

Q: Pse marr një rezultat me i?

Shkronja i është njësia imagjinare, me i² = −1. Shfaqet kur diskriminanti është negativ: parabola nuk e pret kurrë boshtin x, pra nuk ka zgjidhje reale, por ka dy komplekse.

Q: A mund të shkruaj decimalë ose thyesa si koeficientë?

Po. Shkruaj 0,5, 1/3 ose −2,25; llogaritja mbetet e saktë sepse çdo koeficient kthehet më parë në thyesë.

Q: Sa të sakta janë vlerat dhjetore?

Trajta e saktë është gjithmonë e saktë. Përafrimet dhjetore rrumbullakosen në shtatë shifra domethënëse, që mjafton për detyra shkolle dhe për shumicën e përdorimeve praktike.

Q: Si e gjej kulmin e një parabole?

Përdor h = −b / 2a , pastaj k = f h , që është e barabartë me −Δ / 4a . Mjeti i tregon të dyja formulat me numrat e tu te zgjidhja hap pas hapi.

Q: A numërohet rrënja e dyfishtë një herë apo dy?

Si zgjidhje e ekuacionit është një vlerë e vetme, e shfaqur një herë. Si rrënjë e polinomit ka shumëfishitet dy, prandaj trajta e faktorizuar përmban një katror, si 2 x − 1 ².

Zgjidhësi i ekuacionit kuadratik

Zgjidh çdo ekuacion kuadratik ax² + bx + c = 0 me diskriminantin, rrënjë të sakta, rrënjë komplekse, trajtën e kulmit, faktorizimin dhe grafikun.

Ekuacioni ax² + bx + c = 0

a b c

Pranohen numra të plotë, decimalë dhe thyesa si 1/2. Një b ose c bosh llogaritet si 0.

Shembuj

–

Zgjidhja hap pas hapi

Si ta përdorësh zgjidhësin e ekuacionit kuadratik

Shkruaj tri koeficientët e ax² + bx + c = 0 te Koeficienti a, Koeficienti b dhe Koeficienti c. Pranohen numra të plotë, decimalë dhe thyesa si 1/2, dhe një b ose c bosh llogaritet si 0.
Përgjigjja përditësohet ndërkohë që shkruan; Zgjidh bën të njëjtën gjë. Pastro boshatis tri kutitë dhe Kopjo kopjon ekuacionin dhe zgjidhjet e tij.
Lexo Zgjidhjet: çdo rrënjë shfaqet në trajtë të saktë, e ndjekur nga një përafrim dhjetor kur vlera e saktë nuk është decimal i shkurtër.
Më poshtë mjeti liston Diskriminantin Δ, Kulmin, Boshtin e simetrisë, Prerjen me boshtin y, drejtimin ku hapet parabola, si dhe shumën dhe prodhimin e rrënjëve. Pasojnë tri Trajtat e funksionit (standarde, e kulmit dhe e faktorizuar) dhe Grafiku i parabolës.
Zgjidhja hap pas hapi përsërit gjithë llogaritjen: diskriminantin, rrënjën katrore të Δ, formulën kuadratike, të dyja rrënjët, kulmin, trajtën e faktorizuar dhe një kontroll.

Butonat te Shembuj ngarkojnë raste tipike: dy rrënjë me numra të plotë, një rrënjë e dyfishtë, rrënjë komplekse dhe rrënjë irracionale.

Formula kuadratike dhe diskriminanti

Një ekuacion kuadratik ka trajtën ax² + bx + c = 0 me a ≠ 0. Zgjidhjet e tij jepen nga formula kuadratike:

x = (−b ± √Δ) / (2a), ku Δ = b² − 4ac

Diskriminanti Δ vendos gjithçka:

Δ > 0: dy rrënjë reale të ndryshme. Nëse Δ është katror i plotë (dhe koeficientët janë racionalë), rrënjët janë racionale dhe polinomi faktorizohet bukur, për shembull x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Δ = 0: një rrënjë e dyfishtë, x = −b / (2a). Parabola e prek boshtin x te kulmi i saj.
Δ < 0: pa rrënjë reale. Rrënja katrore e një numri negativ është imagjinare, √Δ = i√|Δ|, ndaj rrënjët janë dy kompleksë të konjuguar si −1 ± 2i.

Ky mjet llogarit me thyesa të sakta, ndaj nuk humbet kurrë precizion. Kur √Δ nuk është numër i plotë, ai e thjeshton rrënjën (√32 = 4√2) dhe e thjeshton rezultatin: x² + 3x + 1 = 0 jep x = (−3 ± √5)/2, dhe x² − 8 = 0 jep x = ±2√2.

Trajta e kulmit, trajta e faktorizuar dhe grafiku

Trajta e kulmit a(x − h)² + k e tregon drejtpërdrejt kulmin (h, k), me h = −b / (2a) dhe k = −Δ / (4a). Drejtëza x = h është boshti i simetrisë: të dyja rrënjët janë në të njëjtën largësi prej tij. Kur a > 0 parabola hapet lart dhe k është minimumi i saj; kur a < 0 hapet poshtë dhe k është maksimumi i saj.

Trajta e faktorizuar a(x − x₁)(x − x₂) përdor rrënjët. Me rrënjë racionale mjeti shkruan faktorë me numra të plotë, për shembull 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Kur Δ < 0 nuk faktorizohet mbi numrat realë, dhe mjeti e thotë këtë para se të tregojë faktorët kompleksë.

Grafiku vizatohet në shkallë rreth kulmit dhe rrënjëve. Pikat blu shënojnë rrënjët reale, pika portokalli shënon kulmin dhe vija e ndërprerë është boshti i simetrisë.

Si kontroll përfundimtar, mjeti zbaton formulat e Vietës: x₁ + x₂ = −b/a dhe x₁ × x₂ = c/a.

Funksionon në shfletuesin tënd. Asgjë nga ajo që shkruan nuk dërgohet te një server.

Pyetje të shpeshta

Çfarë ndodh nëse a = 0?

Atëherë ekuacioni është linear, bx + c = 0, dhe mjeti e zgjidh si të tillë: x = −c / b. Nëse edhe b është 0, ose çdo numër është zgjidhje (c = 0) ose nuk ka asnjë (c ≠ 0).

Pse marr një rezultat me i?

Shkronja i është njësia imagjinare, me i² = −1. Shfaqet kur diskriminanti është negativ: parabola nuk e pret kurrë boshtin x, pra nuk ka zgjidhje reale, por ka dy komplekse.

A mund të shkruaj decimalë ose thyesa si koeficientë?

Po. Shkruaj 0,5, 1/3 ose −2,25; llogaritja mbetet e saktë sepse çdo koeficient kthehet më parë në thyesë.

Sa të sakta janë vlerat dhjetore?

Trajta e saktë është gjithmonë e saktë. Përafrimet dhjetore rrumbullakosen në shtatë shifra domethënëse, që mjafton për detyra shkolle dhe për shumicën e përdorimeve praktike.

Si e gjej kulmin e një parabole?

Përdor h = −b / (2a), pastaj k = f(h), që është e barabartë me −Δ / (4a). Mjeti i tregon të dyja formulat me numrat e tu te zgjidhja hap pas hapi.

A numërohet rrënja e dyfishtë një herë apo dy?

Si zgjidhje e ekuacionit është një vlerë e vetme, e shfaqur një herë. Si rrënjë e polinomit ka shumëfishitet dy, prandaj trajta e faktorizuar përmban një katror, si 2(x − 1)².