Resolver ecuaciones de segundo grado
Resuelve cualquier ecuación de segundo grado ax² + bx + c = 0 con el discriminante, raíces exactas, raíces complejas, forma canónica, factorizada y gráfica.
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- Discriminante Δ
- Vértice
- Eje de simetría
- Corte con el eje y
- La parábola se abre
- Suma y producto de las raíces
Formas de la función
- Forma general
- Forma canónica (vértice)
- Forma factorizada
Puntos azules: raíces reales (donde la curva corta el eje x). Punto naranja: vértice. Línea discontinua: eje de simetría.
Resolución paso a paso
Cómo resolver ecuaciones de segundo grado con esta herramienta
- Escribe los tres coeficientes de ax² + bx + c = 0 en Coeficiente a, Coeficiente b y Coeficiente c. Se aceptan enteros, decimales y fracciones como 1/2, y si b o c están vacíos cuentan como 0.
- La respuesta se actualiza mientras escribes; Resolver hace lo mismo. Borrar vacía las tres casillas y Copiar copia la ecuación y sus soluciones.
- Lee las Soluciones: cada raíz aparece en forma exacta, seguida de una aproximación decimal cuando el valor exacto no es un decimal corto.
- Debajo, la herramienta muestra el Discriminante Δ, el Vértice, el Eje de simetría, el Corte con el eje y, hacia dónde se abre la parábola y la suma y el producto de las raíces. A continuación aparecen las tres Formas de la función (general, canónica y factorizada) y una Gráfica de la parábola.
- La Resolución paso a paso repite todo el desarrollo: discriminante, raíz cuadrada de Δ, fórmula general, las dos raíces, vértice, forma factorizada y una comprobación.
Los botones de Ejemplos cargan casos típicos: dos raíces enteras, una raíz doble, raíces complejas y raíces irracionales.
La fórmula general y el discriminante
Una ecuación de segundo grado (o cuadrática) tiene la forma ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0. Sus soluciones vienen dadas por la fórmula general:
x = (−b ± √Δ) / (2a), donde Δ = b² − 4ac
El discriminante Δ lo decide todo:
- Δ > 0: dos raíces reales distintas. Si Δ es un cuadrado perfecto (y los coeficientes son racionales), las raíces son racionales y el polinomio se factoriza limpiamente, por ejemplo x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
- Δ = 0: una raíz doble, x = −b / (2a). La parábola toca el eje x en su vértice.
- Δ < 0: ninguna raíz real. La raíz cuadrada de un número negativo es imaginaria, √Δ = i√|Δ|, así que las raíces son dos complejas conjugadas, como −1 ± 2i.
La herramienta calcula con fracciones exactas, así que nunca pierde precisión. Cuando √Δ no es un número entero, simplifica el radical (√32 = 4√2) y reduce el resultado: x² + 3x + 1 = 0 da x = (−3 ± √5)/2, y x² − 8 = 0 da x = ±2√2.
Forma canónica, forma factorizada y gráfica
La forma canónica a(x − h)² + k muestra directamente el vértice (h, k), con h = −b / (2a) y k = −Δ / (4a). La recta x = h es el eje de simetría: las dos raíces están a la misma distancia de ella. Cuando a > 0, la parábola se abre hacia arriba y k es su mínimo; cuando a < 0, se abre hacia abajo y k es su máximo.
La forma factorizada a(x − x₁)(x − x₂) usa las raíces. Con raíces racionales, la herramienta escribe factores enteros, por ejemplo 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Cuando Δ < 0 no se puede factorizar en los números reales, y la herramienta lo indica antes de mostrar los factores complejos.
La gráfica se dibuja a escala alrededor del vértice y de las raíces. Los puntos azules marcan las raíces reales, el punto naranja marca el vértice y la línea discontinua es el eje de simetría.
Como comprobación final, la herramienta aplica las fórmulas de Vieta: x₁ + x₂ = −b/a y x₁ × x₂ = c/a.
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si a = 0?
La ecuación pasa a ser lineal, bx + c = 0, y la herramienta la resuelve como tal: x = −c / b. Si b también es 0, o bien cualquier número es solución (c = 0), o bien no hay ninguna (c ≠ 0).
¿Por qué obtengo un resultado con i?
La letra i es la unidad imaginaria, con i² = −1. Aparece cuando el discriminante es negativo: la parábola nunca corta el eje x, así que no hay solución real, pero sí dos soluciones complejas.
¿Puedo introducir decimales o fracciones como coeficientes?
Sí. Escribe 0,5, 1/3 o −2,25; el cálculo sigue siendo exacto porque cada coeficiente se convierte primero en fracción.
¿Qué precisión tienen los valores decimales?
La forma exacta siempre es correcta. Las aproximaciones decimales se redondean a siete cifras significativas, suficiente para los deberes y para la mayoría de usos prácticos.
¿Cómo encuentro el vértice de una parábola?
Usa h = −b / (2a) y después k = f(h), que también es igual a −Δ / (4a). La herramienta muestra ambas fórmulas con tus números en la resolución paso a paso.
¿La raíz doble se cuenta una vez o dos?
Como solución de la ecuación es un único valor y se muestra una vez. Como raíz del polinomio tiene multiplicidad dos, y por eso la forma factorizada contiene un cuadrado, como 2(x − 1)².
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