Kvadratna jednačina – korijeni, diskriminanta i grafik

Q: Šta ako je a = 0?

Jednačina je tada linearna, bx + c = 0, i alat je tako rješava: x = −c / b. Ako je i b jednako 0, ili je svaki broj rješenje c = 0 ili ga nema c ≠ 0 .

Q: Zašto dobijem rezultat sa slovom i?

Slovo i je imaginarna jedinica, i² = −1. Pojavljuje se kada je diskriminanta negativna: parabola nikad ne siječe osu x, pa nema realnog rješenja, ali postoje dva kompleksna.

Q: Mogu li kao koeficijente upisati decimale ili razlomke?

Možeš. Upiši 0,5, 1/3 ili −2,25; račun ostaje tačan jer se svaki koeficijent prvo pretvara u razlomak.

Q: Koliko su tačne decimalne vrijednosti?

Tačan oblik je uvijek ispravan. Decimalne aproksimacije zaokružuju se na sedam značajnih cifara, što je dovoljno za zadaće i većinu praktične upotrebe.

Q: Kako naći tjeme parabole?

Koristi h = −b / 2a , zatim k = f h , što je također jednako −Δ / 4a . Alat u rješenju korak po korak prikazuje obje formule s tvojim brojevima.

Q: Računa li se dvostruki korijen jednom ili dvaput?

Kao rješenje jednačine to je jedna vrijednost, prikazana jednom. Kao korijen polinoma ima višestrukost dva, zato faktorizovani oblik sadrži kvadrat, poput 2 x − 1 ².

Rješavanje kvadratne jednačine

Riješi svaku kvadratnu jednačinu ax² + bx + c = 0: diskriminanta, tačni korijeni, kompleksni korijeni, tjemeni i faktorizovani oblik te grafik.

Jednačina ax² + bx + c = 0

a b c

Prihvataju se cijeli brojevi, decimale i razlomci poput 1/2. Prazno b ili c računa se kao 0.

Primjeri

–

Rješenje korak po korak

Kako koristiti rješavač kvadratne jednačine

Upiši tri koeficijenta jednačine ax² + bx + c = 0 u polja Koeficijent a, Koeficijent b i Koeficijent c. Prihvataju se cijeli brojevi, decimale i razlomci poput 1/2, a prazno b ili c računa se kao 0.
Odgovor se osvježava dok upisuješ; Riješi radi isto. Obriši prazni tri polja, a Kopiraj kopira jednačinu i njena rješenja.
Pročitaj Rješenja: svaki korijen je prikazan u tačnom obliku, a iza njega decimalna aproksimacija kada tačna vrijednost nije kratak decimalni broj.
Ispod alat navodi Diskriminantu Δ, Tjeme, Osu simetrije, Presjek s osom y, smjer otvaranja parabole te zbir i proizvod korijena. Slijede tri Oblika funkcije (standardni, tjemeni i faktorizovani) i Grafik parabole.
Rješenje korak po korak ponavlja cijeli postupak: diskriminantu, kvadratni korijen iz Δ, formulu, oba korijena, tjeme, faktorizovani oblik i provjeru.

Dugmad Primjeri učitavaju tipične slučajeve: dva cjelobrojna korijena, dvostruki korijen, kompleksne i iracionalne korijene. Sve radi u tvom pregledniku.

Formula za kvadratnu jednačinu i diskriminanta

Kvadratna jednačina ima oblik ax² + bx + c = 0 uz a ≠ 0. Njena rješenja daje formula:

x = (−b ± √Δ) / (2a), gdje je Δ = b² − 4ac

Sve odlučuje diskriminanta Δ:

Δ > 0: dva različita realna korijena. Ako je Δ potpun kvadrat (a koeficijenti su racionalni), korijeni su racionalni i polinom se lijepo rastavlja, na primjer x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Δ = 0: jedan dvostruki korijen, x = −b / (2a). Parabola dodiruje osu x u svom tjemenu.
Δ < 0: nema realnog korijena. Kvadratni korijen negativnog broja je imaginaran, √Δ = i√|Δ|, pa su korijeni dva konjugirano kompleksna broja, na primjer −1 ± 2i.

Alat računa tačnim razlomcima, pa nikad ne gubi preciznost. Kada √Δ nije cijeli broj, pojednostavljuje korijen (√32 = 4√2) i skraćuje rezultat: x² + 3x + 1 = 0 daje x = (−3 ± √5)/2, a x² − 8 = 0 daje x = ±2√2.

Tjemeni oblik, faktorizovani oblik i grafik

Tjemeni oblik a(x − h)² + k direktno pokazuje tjeme (h, k), uz h = −b / (2a) i k = −Δ / (4a). Prava x = h je osa simetrije: oba korijena su jednako udaljena od nje. Kad je a > 0, parabola je otvorena prema gore, a k je njen minimum; kad je a < 0, otvorena je prema dolje, a k je njen maksimum.

Faktorizovani oblik a(x − x₁)(x − x₂) koristi korijene. Kod racionalnih korijena alat piše cjelobrojne faktore, na primjer 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Kad je Δ < 0, polinom se ne može rastaviti nad realnim brojevima, što alat navodi prije prikaza kompleksnih faktora.

Grafik je nacrtan u razmjeri oko tjemena i korijena. Plave tačke označavaju realne korijene, narandžasta tačka tjeme, a isprekidana linija osu simetrije.

Za kraj alat primjenjuje Vièteove formule: x₁ + x₂ = −b/a i x₁ × x₂ = c/a.

Česta pitanja

Šta ako je a = 0?

Jednačina je tada linearna, bx + c = 0, i alat je tako rješava: x = −c / b. Ako je i b jednako 0, ili je svaki broj rješenje (c = 0) ili ga nema (c ≠ 0).

Zašto dobijem rezultat sa slovom i?

Slovo i je imaginarna jedinica, i² = −1. Pojavljuje se kada je diskriminanta negativna: parabola nikad ne siječe osu x, pa nema realnog rješenja, ali postoje dva kompleksna.

Mogu li kao koeficijente upisati decimale ili razlomke?

Možeš. Upiši 0,5, 1/3 ili −2,25; račun ostaje tačan jer se svaki koeficijent prvo pretvara u razlomak.

Koliko su tačne decimalne vrijednosti?

Tačan oblik je uvijek ispravan. Decimalne aproksimacije zaokružuju se na sedam značajnih cifara, što je dovoljno za zadaće i većinu praktične upotrebe.

Kako naći tjeme parabole?

Koristi h = −b / (2a), zatim k = f(h), što je također jednako −Δ / (4a). Alat u rješenju korak po korak prikazuje obje formule s tvojim brojevima.

Računa li se dvostruki korijen jednom ili dvaput?

Kao rješenje jednačine to je jedna vrijednost, prikazana jednom. Kao korijen polinoma ima višestrukost dva, zato faktorizovani oblik sadrži kvadrat, poput 2(x − 1)².