حل المعادلة التربيعية

كيفية استخدام أداة حل المعادلة التربيعية

1. اكتب المعاملات الثلاثة للمعادلة ax² + bx + c = 0 في المعامل a والمعامل b والمعامل c. تُقبل الأعداد الصحيحة والعشرية والكسور مثل 1/2، ويُعدّ الحقل b أو c الفارغ صفرًا.
2. يتحدّث الجواب أثناء الكتابة، وزر حُلّ يؤدي الشيء نفسه. يفرّغ زر مسح الحقول الثلاثة، وينسخ زر نسخ المعادلة وحلولها.
3. اقرأ الحلول: يُعرض كل جذر بصيغته الدقيقة، تليها قيمة عشرية تقريبية حين لا تكون القيمة الدقيقة عددًا عشريًا قصيرًا.
4. تعرض الأداة تحتها المميز Δ، والرأس، ومحور التماثل، ونقطة التقاطع مع محور y، واتجاه فتحة القطع المكافئ، ومجموع الجذرين وحاصل ضربهما. ثم تأتي صيغ الدالة الثلاث (العامة وصيغة الرأس والمحللة) والتمثيل البياني للقطع المكافئ.
5. يعيد قسم الحل خطوة بخطوة عرض الحل كاملًا: المميز، والجذر التربيعي لـ Δ، والقانون العام، والجذران، والرأس، والصيغة المحللة، والتحقق.

تحمّل أزرار أمثلة حالات نموذجية: جذران صحيحان، وجذر مضاعف، وجذور مركبة، وجذور غير نسبية.

القانون العام والمميز

المعادلة التربيعية (من الدرجة الثانية) لها الشكل ax² + bx + c = 0 حيث a ≠ 0. وتُعطى حلولها بالقانون العام:

‎x = (−b ± √Δ) / (2a)، حيث Δ = b² − 4ac

والمميز Δ هو الذي يحدد كل شيء:

• Δ > 0: جذران حقيقيان مختلفان. وإذا كان Δ مربعًا كاملًا (وكانت المعاملات نسبية)، فالجذران نسبيان ويتحلل كثير الحدود بسهولة، مثل x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
• Δ = 0: جذر مضاعف واحد، x = −b / (2a). ويمسّ القطع المكافئ محور x عند رأسه.
• Δ < 0: لا جذر حقيقي. فالجذر التربيعي لعدد سالب عدد تخيلي، √Δ = i√|Δ|، لذا يكون الجذران عددين مركبين مترافقين مثل −1 ± 2i.

تحسب هذه الأداة بكسور دقيقة، فلا تفقد أي دقة أبدًا. وحين لا يكون √Δ عددًا صحيحًا، تبسّط الجذر (√32 = 4√2) وتختصر النتيجة: فالمعادلة x² + 3x + 1 = 0 تعطي x = (−3 ± √5)/2، والمعادلة x² − 8 = 0 تعطي x = ±2√2.

صيغة الرأس والصيغة المحللة والرسم البياني

تُظهر صيغة الرأس a(x − h)² + k الرأسَ (h, k) مباشرة، حيث h = −b / (2a) وk = −Δ / (4a). والمستقيم x = h هو محور التماثل: فالجذران على البعد نفسه منه. وحين يكون a > 0 تتجه فتحة القطع المكافئ إلى الأعلى ويكون k قيمته الصغرى؛ وحين يكون a < 0 تتجه إلى الأسفل ويكون k قيمته العظمى.

أما الصيغة المحللة a(x − x₁)(x − x₂) فتستخدم الجذرين. ومع الجذور النسبية تكتب الأداة عوامل بمعاملات صحيحة، مثل 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). وحين يكون Δ < 0 لا يمكن التحليل على الأعداد الحقيقية، وتنبّه الأداة إلى ذلك قبل عرض العوامل المركبة.

يُرسم المنحنى بمقياس رسم حول الرأس والجذور. تشير النقاط الزرقاء إلى الجذور الحقيقية، والنقطة البرتقالية إلى الرأس، والخط المتقطع إلى محور التماثل.

وللتحقق في النهاية تطبّق الأداة علاقات فييتا: x₁ + x₂ = −b/a وx₁ × x₂ = c/a.