Utilia
Kategorijos ▾
Kalba: lt ▾

Kvadratinės lygties sprendimas

Išspręsk bet kurią kvadratinę lygtį ax² + bx + c = 0: diskriminantas, tikslios šaknys, kompleksinės šaknys, viršūninė forma, skaidinys ir grafikas.

Lygtis ax² + bx + c = 0

Tinka sveikieji skaičiai, dešimtainės trupmenos ir paprastosios trupmenos, pvz., 1/2. Tuščias b arba c laikomas 0.

Pavyzdžiai

–

    Sprendimas žingsniais

    Kaip naudotis kvadratinių lygčių sprendimo įrankiu

    1. Tris lygties ax² + bx + c = 0 koeficientus įvesk į laukus Koeficientas a, Koeficientas b ir Koeficientas c. Tinka sveikieji skaičiai, dešimtainės trupmenos ir paprastosios trupmenos, pvz., 1/2, o tuščias b arba c laikomas 0.
    2. Atsakymas atsinaujina, kai tik rašai; Spręsti daro tą patį. Išvalyti ištuština tris laukelius, o Kopijuoti nukopijuoja lygtį ir jos sprendinius.
    3. Perskaityk Sprendiniai: kiekviena šaknis rodoma tiksliai, o jei tiksli reikšmė nėra trumpa dešimtainė trupmena, pridedamas ir dešimtainis apytikslis skaičius.
    4. Žemiau įrankis pateikia Diskriminantas Δ, Viršūnė, Simetrijos ašis, Susikirtimas su y ašimi, parabolės šakų kryptį bei šaknų sumą ir sandaugą. Toliau rodomos trys Funkcijos užrašo formos (standartinė, viršūninė ir skaidinys daugikliais) ir Parabolės grafikas.
    5. Sprendimas žingsniais pakartoja visą sprendimą: diskriminantą, Δ kvadratinę šaknį, kvadratinės lygties formulę, abi šaknis, viršūnę, skaidinį daugikliais ir patikrą.

    Mygtukai Pavyzdžiai įkelia tipinius atvejus: dvi sveikąsias šaknis, dvigubą šaknį, kompleksines ir iracionaliąsias šaknis.

    Veikia tavo naršyklėje. Nieko, ką įvedi, nesiunčiame į serverį.

    Kvadratinės lygties formulė ir diskriminantas

    Kvadratinė lygtis užrašoma ax² + bx + c = 0, kai a ≠ 0. Jos sprendinius duoda formulė:

    x = (−b ± √Δ) / (2a), kur Δ = b² − 4ac

    Viską lemia diskriminantas Δ:

    • Δ > 0: dvi skirtingos realiosios šaknys. Jei Δ yra tobulas kvadratas (ir koeficientai racionalieji), šaknys racionaliosios, o daugianarį lengva išskaidyti, pavyzdžiui, x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
    • Δ = 0: viena dviguba šaknis, x = −b / (2a). Parabolė liečia x ašį savo viršūnėje.
    • Δ < 0: realiųjų šaknų nėra. Neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis menamoji, √Δ = i√|Δ|, todėl šaknys yra dvi kompleksinės jungtinės, pavyzdžiui, −1 ± 2i.

    Įrankis skaičiuoja tiksliomis trupmenomis, todėl tikslumas niekada nenukenčia. Kai √Δ nėra sveikasis skaičius, šaknis suprastinama (√32 = 4√2) ir rezultatas suprastinamas: x² + 3x + 1 = 0 duoda x = (−3 ± √5)/2, o x² − 8 = 0 duoda x = ±2√2.

    Viršūninė forma, skaidinys daugikliais ir grafikas

    Viršūninė forma a(x − h)² + k tiesiogiai parodo viršūnę (h, k), kur h = −b / (2a), o k = −Δ / (4a). Tiesė x = h yra simetrijos ašis: abi šaknys nuo jos nutolusios vienodu atstumu. Kai a > 0, parabolės šakos nukreiptos aukštyn, o k yra jos mažiausia reikšmė; kai a < 0, šakos nukreiptos žemyn, o k yra didžiausia reikšmė.

    Skaidinys daugikliais a(x − x₁)(x − x₂) naudoja šaknis. Kai šaknys racionaliosios, įrankis užrašo sveikuosius daugiklius, pavyzdžiui, 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Kai Δ < 0, daugianario realiaisiais skaičiais išskaidyti negalima, ir įrankis tai pasako prieš parodant kompleksinius daugiklius.

    Grafikas braižomas mastele aplink viršūnę ir šaknis. Mėlyni taškai žymi realiąsias šaknis, oranžinis taškas – viršūnę, o punktyrinė linija yra simetrijos ašis.

    Galiausiai įrankis pritaiko Vijeto formules: x₁ + x₂ = −b/a ir x₁ × x₂ = c/a.

    Dažnai užduodami klausimai

    Kas nutinka, kai a = 0?

    Tada lygtis tampa tiesine, bx + c = 0, ir įrankis ją sprendžia kaip tiesinę: x = −c / b. Jei ir b lygus 0, arba sprendinys yra bet kuris skaičius (c = 0), arba sprendinių nėra (c ≠ 0).

    Kodėl rezultate matau i?

    Raidė i yra menamasis vienetas, i² = −1. Ji atsiranda, kai diskriminantas neigiamas: parabolė niekada nekerta x ašies, todėl realiojo sprendinio nėra, bet yra du kompleksiniai.

    Ar koeficientus galima įvesti dešimtainėmis ar paprastosiomis trupmenomis?

    Taip. Įvesk 0,5, 1/3 arba −2,25; skaičiavimas lieka tikslus, nes kiekvienas koeficientas pirmiausia paverčiamas trupmena.

    Kiek tikslios dešimtainės reikšmės?

    Tiksli forma visada teisinga. Dešimtainiai apytikslės reikšmės suapvalinamos iki septynių reikšminių skaitmenų – to pakanka namų darbams ir daugumai praktinių poreikių.

    Kaip rasti parabolės viršūnę?

    Naudok h = −b / (2a), tada k = f(h), tai taip pat lygu −Δ / (4a). Abi formules su tavo skaičiais įrankis parodo skiltyje „Sprendimas žingsniais“.

    Ar dviguba šaknis skaičiuojama vieną ar du kartus?

    Kaip lygties sprendinys ji yra viena reikšmė ir rodoma vieną kartą. Kaip daugianario šaknis ji turi kartotinumą du, todėl skaidinyje daugikliais yra kvadratas, pavyzdžiui, 2(x − 1)².

    Susiję įrankiai