Annars stigs jöfnur – rætur, aðgreinir og graf

Q: Hvað gerist ef a = 0?

Þá er jafnan línuleg, bx + c = 0, og verkfærið leysir hana sem slíka: x = −c / b. Ef b er einnig 0 er annaðhvort sérhver tala lausn c = 0 eða engin c ≠ 0 .

Q: Hvers vegna fæ ég niðurstöðu með i?

Bókstafurinn i er þvertalan, með i² = −1. Hún birtist þegar aðgreinirinn er neikvæður: fleygboginn sker aldrei x ásinn, svo engin rauntölulausn er til, en tvær tvinntölulausnir.

Q: Get ég slegið inn tugabrot eða almenn brot sem stuðla?

Já. Skrifaðu 0,5, 1/3 eða −2,25; útreikningurinn helst nákvæmur því að hver stuðull er fyrst umbreyttur í brot.

Q: Hversu nákvæm eru tugabrotsgildin?

Nákvæma formið er alltaf rétt. Tugabrotsnálganir eru námundaðar í sjö marktæka tölustafi, sem nægir fyrir heimadæmi og flesta hagnýta notkun.

Q: Hvernig finn ég topppunkt fleygboga?

Notaðu h = −b / 2a og síðan k = f h , sem er einnig jafnt og −Δ / 4a . Verkfærið sýnir báðar formúlurnar með þínum tölum í lausninni skref fyrir skref.

Q: Telst tvöföld rót einu sinni eða tvisvar?

Sem lausn jöfnunnar er hún eitt gildi og sýnd einu sinni. Sem rót margliðunnar hefur hún margfeldni tvö, og þess vegna inniheldur þáttaða formið ferning, eins og 2 x − 1 ².

Annars stigs jöfnur – reiknivél

Leystu hverja annars stigs jöfnu ax² + bx + c = 0 með aðgreini, nákvæmum rótum, tvinntölurótum, topppunktsformi, þáttuðu formi og grafi.

Jafna ax² + bx + c = 0

a b c

Heilar tölur, tugabrot og almenn brot eins og 1/2 eru tekin gild. Tómur b eða c telst vera 0.

Dæmi

–

Lausn skref fyrir skref

Hvernig á að nota reiknivélina fyrir annars stigs jöfnur

Sláðu inn stuðlana þrjá í ax² + bx + c = 0 í Stuðull a, Stuðull b og Stuðull c. Heilar tölur, tugabrot og almenn brot eins og 1/2 eru tekin gild, og tómur b eða c telst vera 0.
Svarið uppfærist jafnóðum; Leysa gerir það sama. Hreinsa tæmir reitina þrjá og Afrita afritar jöfnuna og lausnir hennar.
Lestu Lausnir: hver rót er sýnd á nákvæmu formi, og á eftir fylgir tugabrotsnálgun þegar nákvæma gildið er ekki stutt tugabrot.
Fyrir neðan telur verkfærið upp Aðgreinir Δ, Topppunktur, Samhverfuás, Skurðpunktur við y-ás, í hvaða átt fleygboginn opnast og summu og margfeldi róta. Þrjú Form fallsins (staðalform, topppunktsform og þáttað form) og Graf fleygbogans fylgja.
Lausn skref fyrir skref endurtekur allan útreikninginn: aðgreini, kvaðratrót af Δ, annars stigs formúluna, báðar rætur, topppunkt, þáttað form og athugun.

Hnapparnir í Dæmi hlaða dæmigerðum tilvikum: tvær rætur sem eru heilar tölur, tvöföld rót, tvinntölurætur og óræðar rætur.

Annars stigs formúlan og aðgreinirinn

Annars stigs jafna hefur formið ax² + bx + c = 0 með a ≠ 0. Lausnir hennar eru gefnar með annars stigs formúlunni:

x = (−b ± √Δ) / (2a), þar sem Δ = b² − 4ac

Aðgreinirinn Δ ræður öllu:

Δ > 0: tvær ólíkar rauntölurætur. Ef Δ er ferningstala (og stuðlarnir ræðir) eru ræturnar ræðar og margliðan þáttast snyrtilega, til dæmis x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Δ = 0: ein tvöföld rót, x = −b / (2a). Fleygboginn snertir x-ásinn í topppunkti sínum.
Δ < 0: engin rauntölurót. Kvaðratrót neikvæðrar tölu er þvertala, √Δ = i√|Δ|, svo ræturnar eru tvær samofnar tvinntölur eins og −1 ± 2i.

Verkfærið reiknar með nákvæmum brotum og tapar því aldrei nákvæmni. Þegar √Δ er ekki heil tala einfaldar það rótina (√32 = 4√2) og styttir niðurstöðuna: x² + 3x + 1 = 0 gefur x = (−3 ± √5)/2 og x² − 8 = 0 gefur x = ±2√2.

Topppunktsform, þáttað form og grafið

Topppunktsformið a(x − h)² + k sýnir topppunktinn (h, k) beint, með h = −b / (2a) og k = −Δ / (4a). Línan x = h er samhverfuásinn: báðar ræturnar eru í sömu fjarlægð frá henni. Þegar a > 0 opnast fleygboginn upp og k er lággildi hans; þegar a < 0 opnast hann niður og k er hágildi hans.

Þáttaða formið a(x − x₁)(x − x₂) notar rætur. Með ræðar rætur skrifar verkfærið þætti með heilum tölum, til dæmis 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Þegar Δ < 0 er ekki hægt að þátta yfir rauntölur og verkfærið segir það áður en það sýnir tvinntöluþættina.

Grafið er teiknað í réttum hlutföllum í kringum topppunktinn og rætur. Bláir punktar sýna rauntölurætur, appelsínuguli punkturinn sýnir topppunktinn og brotalínan er samhverfuásinn.

Að lokum athugar verkfærið niðurstöðuna með reglum Viète: x₁ + x₂ = −b/a og x₁ × x₂ = c/a.

Verkfærið virkar í vafranum þínum og ekkert sem þú slærð inn er sent á netþjón.

Algengar spurningar

Hvað gerist ef a = 0?

Þá er jafnan línuleg, bx + c = 0, og verkfærið leysir hana sem slíka: x = −c / b. Ef b er einnig 0 er annaðhvort sérhver tala lausn (c = 0) eða engin (c ≠ 0).

Hvers vegna fæ ég niðurstöðu með i?

Bókstafurinn i er þvertalan, með i² = −1. Hún birtist þegar aðgreinirinn er neikvæður: fleygboginn sker aldrei x-ásinn, svo engin rauntölulausn er til, en tvær tvinntölulausnir.

Get ég slegið inn tugabrot eða almenn brot sem stuðla?

Já. Skrifaðu 0,5, 1/3 eða −2,25; útreikningurinn helst nákvæmur því að hver stuðull er fyrst umbreyttur í brot.

Hversu nákvæm eru tugabrotsgildin?

Nákvæma formið er alltaf rétt. Tugabrotsnálganir eru námundaðar í sjö marktæka tölustafi, sem nægir fyrir heimadæmi og flesta hagnýta notkun.

Hvernig finn ég topppunkt fleygboga?

Notaðu h = −b / (2a) og síðan k = f(h), sem er einnig jafnt og −Δ / (4a). Verkfærið sýnir báðar formúlurnar með þínum tölum í lausninni skref fyrir skref.

Telst tvöföld rót einu sinni eða tvisvar?

Sem lausn jöfnunnar er hún eitt gildi og sýnd einu sinni. Sem rót margliðunnar hefur hún margfeldni tvö, og þess vegna inniheldur þáttaða formið ferning, eins og 2(x − 1)².