Kvadratna enačba – rešitve, diskriminanta in graf

Q: Kaj se zgodi, če je a = 0?

Enačba je tedaj linearna, bx + c = 0, in orodje jo reši kot tako: x = −c / b. Če je tudi b enak 0, je bodisi vsako število rešitev c = 0 bodisi ni nobene c ≠ 0 .

Q: Zakaj dobim rezultat z i?

Črka i je imaginarna enota, za katero velja i² = −1. Pojavi se, kadar je diskriminanta negativna: parabola nikoli ne seka osi x, zato realne rešitve ni, obstajata pa dve kompleksni.

Q: Ali lahko kot koeficiente vnesem decimalna števila ali ulomke?

Da. Vpiši 0,5, 1/3 ali −2,25; izračun ostane natančen, ker se vsak koeficient najprej pretvori v ulomek.

Q: Kako natančne so decimalne vrednosti?

Natančna oblika je vedno pravilna. Decimalni približki so zaokroženi na sedem veljavnih števk, kar zadošča za domače naloge in večino praktičnih uporab.

Q: Kako poiščem teme parabole?

Uporabi h = −b / 2a , nato k = f h , kar je enako tudi −Δ / 4a . Orodje v rešitvi korak za korakom pokaže obe formuli z vpisanimi števili.

Q: Ali se dvojna rešitev šteje enkrat ali dvakrat?

Kot rešitev enačbe je ena sama vrednost, prikazana enkrat. Kot ničla polinoma ima večkratnost dve, zato faktorizirana oblika vsebuje kvadrat, na primer 2 x − 1 ².

Reševanje kvadratne enačbe

Reši vsako kvadratno enačbo ax² + bx + c = 0: diskriminanta, natančne rešitve s koreni, kompleksne rešitve, temenska in faktorizirana oblika ter graf.

Enačba ax² + bx + c = 0

a b c

Sprejeta so cela števila, decimalna števila in ulomki, na primer 1/2. Prazen b ali c se šteje kot 0.

Primeri

–

Rešitev korak za korakom

Kako uporabljati reševanje kvadratne enačbe

V polja Koeficient a, Koeficient b in Koeficient c vpiši tri koeficiente enačbe ax² + bx + c = 0. Sprejeta so cela števila, decimalna števila in ulomki, na primer 1/2, prazen b ali c pa se šteje kot 0.
Odgovor se posodablja med vnašanjem; Reši naredi isto. Počisti izprazni tri polja, Kopiraj pa skopira enačbo in njene rešitve.
Preberi Rešitve: vsaka je prikazana v natančni obliki, za njo pa decimalni približek, kadar natančna vrednost ni kratko decimalno število.
Spodaj orodje našteje Diskriminanto Δ, Teme, Os simetrije, Presečišče z osjo y, smer odprtosti parabole ter vsoto in produkt rešitev. Sledijo tri Oblike funkcije (splošna, temenska in faktorizirana) in Graf parabole.
Rešitev korak za korakom ponovi celoten postopek: diskriminanto, kvadratni koren iz Δ, kvadratno formulo, obe rešitvi, teme, faktorizirano obliko in preverjanje.

Gumbi Primeri naložijo značilne primere: dve celoštevilski rešitvi, dvojno rešitev, kompleksni rešitvi in iracionalni rešitvi.

Kvadratna formula in diskriminanta

Kvadratna enačba ima obliko ax² + bx + c = 0, kjer je a ≠ 0. Njene rešitve podaja kvadratna formula:

x = (−b ± √Δ) / (2a), kjer je Δ = b² − 4ac

Vse določa diskriminanta Δ:

Δ > 0: dve različni realni rešitvi. Če je Δ popoln kvadrat (in so koeficienti racionalni), sta rešitvi racionalni, polinom pa se lepo razstavi, na primer x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Δ = 0: ena dvojna rešitev, x = −b / (2a). Parabola se v temenu dotakne osi x.
Δ < 0: ni realne rešitve. Kvadratni koren negativnega števila je imaginaren, √Δ = i√|Δ|, zato sta rešitvi dve konjugirano kompleksni števili, na primer −1 ± 2i.

Orodje računa z natančnimi ulomki in zato nikoli ne izgubi natančnosti. Kadar √Δ ni celo število, poenostavi koren (√32 = 4√2) in okrajša rezultat: x² + 3x + 1 = 0 da x = (−3 ± √5)/2, x² − 8 = 0 pa x = ±2√2.

Temenska oblika, faktorizirana oblika in graf

Temenska oblika a(x − h)² + k neposredno pokaže teme (h, k), pri čemer je h = −b / (2a) in k = −Δ / (4a). Premica x = h je os simetrije: obe rešitvi sta enako oddaljeni od nje. Pri a > 0 je parabola odprta navzgor in k je njen minimum; pri a < 0 je odprta navzdol in k je njen maksimum.

Faktorizirana oblika a(x − x₁)(x − x₂) uporablja rešitve. Pri racionalnih rešitvah orodje zapiše celoštevilske faktorje, na primer 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Kadar je Δ < 0, polinoma ni mogoče razstaviti nad realnimi števili, kar orodje pove, preden pokaže kompleksne faktorje.

Graf je narisan v merilu okoli temena in rešitev. Modre točke označujejo realne rešitve, oranžna točka teme, črtkana črta pa os simetrije.

Za končno preverjanje orodje uporabi Vietove obrazce: x₁ + x₂ = −b/a in x₁ × x₂ = c/a.

Orodje deluje v tvojem brskalniku. Nič, kar vneseš, se ne pošlje na strežnik.

Pogosta vprašanja

Kaj se zgodi, če je a = 0?

Enačba je tedaj linearna, bx + c = 0, in orodje jo reši kot tako: x = −c / b. Če je tudi b enak 0, je bodisi vsako število rešitev (c = 0) bodisi ni nobene (c ≠ 0).

Zakaj dobim rezultat z i?

Črka i je imaginarna enota, za katero velja i² = −1. Pojavi se, kadar je diskriminanta negativna: parabola nikoli ne seka osi x, zato realne rešitve ni, obstajata pa dve kompleksni.

Ali lahko kot koeficiente vnesem decimalna števila ali ulomke?

Da. Vpiši 0,5, 1/3 ali −2,25; izračun ostane natančen, ker se vsak koeficient najprej pretvori v ulomek.

Kako natančne so decimalne vrednosti?

Natančna oblika je vedno pravilna. Decimalni približki so zaokroženi na sedem veljavnih števk, kar zadošča za domače naloge in večino praktičnih uporab.

Kako poiščem teme parabole?

Uporabi h = −b / (2a), nato k = f(h), kar je enako tudi −Δ / (4a). Orodje v rešitvi korak za korakom pokaže obe formuli z vpisanimi števili.

Ali se dvojna rešitev šteje enkrat ali dvakrat?

Kot rešitev enačbe je ena sama vrednost, prikazana enkrat. Kot ničla polinoma ima večkratnost dve, zato faktorizirana oblika vsebuje kvadrat, na primer 2(x − 1)².