Utilia
Kategooriad ▾
Keel: et ▾

Ruutvõrrandi lahendaja

Lahenda ruutvõrrand ax² + bx + c = 0: diskriminant, täpsed juured, kompleksjuured, haripunktikuju, tegurdatud kuju ja parabooli graafik.

Võrrand ax² + bx + c = 0

Sobivad täisarvud, kümnendmurrud ja murrud nagu 1/2. Tühi b või c loetakse nulliks.

Näited

–

    Lahendus samm-sammult

    Kuidas ruutvõrrandi lahendajat kasutada

    1. Sisesta võrrandi ax² + bx + c = 0 kolm kordajat väljadele Kordaja a, Kordaja b ja Kordaja c. Sobivad täisarvud, kümnendmurrud ja murrud nagu 1/2, ning tühi b või c loetakse nulliks.
    2. Vastus uueneb sisestamise ajal; Lahenda teeb sama. Tühjenda tühjendab kolm lahtrit ja Kopeeri kopeerib võrrandi ning selle lahendid.
    3. Loe Lahendid: iga juur näidatakse täpsel kujul, millele järgneb kümnendlähend, kui täpne väärtus ei ole lühike kümnendmurd.
    4. Allpool loetleb tööriist Diskriminandi Δ, Haripunkti, Sümmeetriatelje, Lõikepunkti y-teljega, parabooli avanemissuuna ning juurte summa ja korrutise. Järgnevad kolm Funktsiooni kuju (standard-, haripunkti- ja tegurdatud kuju) ning Parabooli graafik.
    5. Lahendus samm-sammult kordab kogu arvutuskäiku: diskriminant, Δ ruutjuur, lahendivalem, mõlemad juured, haripunkt, tegurdatud kuju ja kontroll.

    Nupud Näited laadivad tüüpilised juhtumid: kaks täisarvulist juurt, kordne juur, kompleksjuured ja irratsionaalsed juured.

    Ruutvõrrandi lahendivalem ja diskriminant

    Ruutvõrrandi kuju on ax² + bx + c = 0, kus a ≠ 0. Selle lahendid annab lahendivalem:

    x = (−b ± √Δ) / (2a), kus Δ = b² − 4ac

    Kõik otsustab diskriminant Δ:

    • Δ > 0: kaks erinevat reaaljuurt. Kui Δ on täisruut (ja kordajad on ratsionaalarvud), on juured ratsionaalarvud ja polünoom tegurdub kenasti, näiteks x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
    • Δ = 0: üks kordne juur, x = −b / (2a). Parabool puudutab x-telge oma haripunktis.
    • Δ < 0: reaaljuuri ei ole. Negatiivse arvu ruutjuur on imaginaarne, √Δ = i√|Δ|, seega on juured kaks kaaskompleksarvu, näiteks −1 ± 2i.

    See tööriist arvutab täpsete murdudega, mistõttu ei kao täpsus kunagi. Kui √Δ ei ole täisarv, lihtsustab ta juure (√32 = 4√2) ja taandab tulemuse: x² + 3x + 1 = 0 annab x = (−3 ± √5)/2 ning x² − 8 = 0 annab x = ±2√2.

    Haripunktikuju, tegurdatud kuju ja graafik

    Haripunktikuju a(x − h)² + k näitab haripunkti (h, k) otse, kus h = −b / (2a) ja k = −Δ / (4a). Sirge x = h on sümmeetriatelg: mõlemad juured asuvad sellest sama kaugel. Kui a > 0, avaneb parabool ülespoole ja k on selle miinimum; kui a < 0, avaneb allapoole ja k on maksimum.

    Tegurdatud kuju a(x − x₁)(x − x₂) kasutab juuri. Ratsionaalsete juurte puhul kirjutab tööriist täisarvulised tegurid, näiteks 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Kui Δ < 0, ei saa polünoomi reaalarvude hulgas tegurdada ja tööriist ütleb seda enne kompleksteguritele ülemineku näitamist.

    Graafik joonistatakse mõõtkavas haripunkti ja juurte ümber. Sinised punktid tähistavad reaaljuuri, oranž punkt haripunkti ja katkendjoon sümmeetriatelge.

    Lõpukontrolliks rakendab tööriist Viète’i valemeid: x₁ + x₂ = −b/a ja x₁ × x₂ = c/a.

    Korduma kippuvad küsimused

    Mis juhtub, kui a = 0?

    Siis on võrrand lineaarne, bx + c = 0, ja tööriist lahendab selle sellisena: x = −c / b. Kui ka b on 0, siis kas iga arv on lahend (c = 0) või lahendeid ei ole (c ≠ 0).

    Miks ma saan tulemuse, milles on i?

    Täht i on imaginaarühik, kus i² = −1. See ilmub, kui diskriminant on negatiivne: parabool ei lõika kunagi x-telge, seega reaallahendeid ei ole, kuid on kaks kompleksset.

    Kas kordajatena võib sisestada kümnendmurde või murde?

    Jah. Sisesta 0,5, 1/3 või −2,25; arvutus jääb täpseks, sest iga kordaja teisendatakse esmalt murruks.

    Kui täpsed on kümnendväärtused?

    Täpne kuju on alati õige. Kümnendlähendid ümardatakse seitsme olulise numbrini, mis on piisav kodutööde ja enamiku praktiliste vajaduste jaoks.

    Kuidas leida parabooli haripunkti?

    Kasuta valemit h = −b / (2a) ja seejärel k = f(h), mis on ka −Δ / (4a). Tööriist näitab mõlemat valemit sinu arvudega lahenduse sammudes.

    Kas kordset juurt loetakse üks või kaks korda?

    Võrrandi lahendina on see üks väärtus, mis näidatakse ühe korra. Polünoomi juurena on selle kordsus kaks, mistõttu tegurdatud kuju sisaldab ruutu, näiteks 2(x − 1)².

    Seotud tööriistad