Kvadratna jednadžba – korijeni, diskriminanta i graf

Q: Što se događa ako je a = 0?

Jednadžba je tada linearna, bx + c = 0, i alat je tako rješava: x = −c / b. Ako je i b jednak 0, ili je svaki broj rješenje c = 0 ili ga nema c ≠ 0 .

Q: Zašto dobivam rezultat s i?

Slovo i je imaginarna jedinica, uz i² = −1. Pojavljuje se kad je diskriminanta negativna: parabola nikad ne siječe os x, pa nema realnog rješenja, ali postoje dva kompleksna.

Q: Mogu li kao koeficijente upisati decimalne brojeve ili razlomke?

Možeš. Upiši 0,5, 1/3 ili −2,25; izračun ostaje točan jer se svaki koeficijent najprije pretvara u razlomak.

Q: Koliko su točne decimalne vrijednosti?

Točan oblik uvijek je ispravan. Decimalne aproksimacije zaokružuju se na sedam značajnih znamenki, što je dovoljno za zadaće i većinu praktičnih potreba.

Q: Kako pronaći tjeme parabole?

Koristi h = −b / 2a , zatim k = f h , što je također jednako −Δ / 4a . Alat obje formule prikazuje s tvojim brojevima u rješenju korak po korak.

Q: Računa li se dvostruki korijen jednom ili dvaput?

Kao rješenje jednadžbe to je jedna vrijednost i prikazuje se jednom. Kao korijen polinoma ima kratnost dva, zbog čega faktorizirani oblik sadrži kvadrat, na primjer 2 x − 1 ².

Rješavač kvadratne jednadžbe

Riješi svaku kvadratnu jednadžbu ax² + bx + c = 0: diskriminanta, točni korijeni, kompleksni korijeni, tjemeni i faktorizirani oblik te graf.

Jednadžba ax² + bx + c = 0

a b c

Prihvaćaju se cijeli brojevi, decimalni brojevi i razlomci poput 1/2. Prazan b ili c računa se kao 0.

Primjeri

–

Rješenje korak po korak

Kako koristiti rješavač kvadratne jednadžbe

Upiši tri koeficijenta jednadžbe ax² + bx + c = 0 u Koeficijent a, Koeficijent b i Koeficijent c. Prihvaćaju se cijeli brojevi, decimalni brojevi i razlomci poput 1/2, a prazan b ili c računa se kao 0.
Odgovor se osvježava dok tipkaš; Riješi radi isto. Očisti prazni tri polja, a Kopiraj kopira jednadžbu i njezina rješenja.
Pročitaj Rješenja: svaki je korijen prikazan u točnom obliku, a nakon njega slijedi decimalna aproksimacija kad točna vrijednost nije kratak decimalni broj.
Ispod alat navodi Diskriminanta Δ, Tjeme, Os simetrije, Sjecište s osi y, smjer otvorenosti parabole te zbroj i umnožak korijena. Slijede tri Oblici funkcije (standardni, tjemeni i faktorizirani) i Graf parabole.
Rješenje korak po korak ponavlja cijeli postupak: diskriminantu, drugi korijen iz Δ, formulu za kvadratnu jednadžbu, oba korijena, tjeme, faktorizirani oblik i provjeru.

Gumbi Primjeri učitavaju tipične slučajeve: dva cjelobrojna korijena, dvostruki korijen, kompleksne korijene i iracionalne korijene.

Formula za kvadratnu jednadžbu i diskriminanta

Kvadratna jednadžba ima oblik ax² + bx + c = 0 uz a ≠ 0. Njezina rješenja daje formula:

x = (−b ± √Δ) / (2a), gdje je Δ = b² − 4ac

Diskriminanta Δ sve odlučuje:

Δ > 0: dva različita realna korijena. Ako je Δ potpun kvadrat (a koeficijenti su racionalni), korijeni su racionalni i polinom se lijepo rastavlja, na primjer x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Δ = 0: jedan dvostruki korijen, x = −b / (2a). Parabola dodiruje os x u svom tjemenu.
Δ < 0: nema realnog korijena. Drugi korijen negativnog broja je imaginaran, √Δ = i√|Δ|, pa su korijeni dva konjugirano kompleksna broja, na primjer −1 ± 2i.

Alat računa točnim razlomcima, pa nikad ne gubi preciznost. Kad √Δ nije cijeli broj, pojednostavnjuje korijen (√32 = 4√2) i skraćuje rezultat: x² + 3x + 1 = 0 daje x = (−3 ± √5)/2, a x² − 8 = 0 daje x = ±2√2.

Tjemeni oblik, faktorizirani oblik i graf

Tjemeni oblik a(x − h)² + k izravno pokazuje tjeme (h, k), uz h = −b / (2a) i k = −Δ / (4a). Pravac x = h je os simetrije: oba su korijena jednako udaljena od nje. Kad je a > 0, parabola je otvorena prema gore, a k je njezin minimum; kad je a < 0, otvorena je prema dolje, a k je njezin maksimum.

Faktorizirani oblik a(x − x₁)(x − x₂) koristi korijene. Uz racionalne korijene alat piše cjelobrojne faktore, na primjer 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Kad je Δ < 0, ne može se rastaviti nad realnim brojevima, što alat navodi prije prikaza kompleksnih faktora.

Graf je nacrtan u mjerilu oko tjemena i korijena. Plave točke označavaju realne korijene, narančasta točka tjeme, a iscrtkana crta os simetrije.

Za kraj alat provjerava rezultat Vièteovim formulama: x₁ + x₂ = −b/a i x₁ × x₂ = c/a. Sve se izvodi u tvom pregledniku; ništa što upišeš ne šalje se na poslužitelj.

Česta pitanja

Što se događa ako je a = 0?

Jednadžba je tada linearna, bx + c = 0, i alat je tako rješava: x = −c / b. Ako je i b jednak 0, ili je svaki broj rješenje (c = 0) ili ga nema (c ≠ 0).

Zašto dobivam rezultat s i?

Slovo i je imaginarna jedinica, uz i² = −1. Pojavljuje se kad je diskriminanta negativna: parabola nikad ne siječe os x, pa nema realnog rješenja, ali postoje dva kompleksna.

Mogu li kao koeficijente upisati decimalne brojeve ili razlomke?

Možeš. Upiši 0,5, 1/3 ili −2,25; izračun ostaje točan jer se svaki koeficijent najprije pretvara u razlomak.

Koliko su točne decimalne vrijednosti?

Točan oblik uvijek je ispravan. Decimalne aproksimacije zaokružuju se na sedam značajnih znamenki, što je dovoljno za zadaće i većinu praktičnih potreba.

Kako pronaći tjeme parabole?

Koristi h = −b / (2a), zatim k = f(h), što je također jednako −Δ / (4a). Alat obje formule prikazuje s tvojim brojevima u rješenju korak po korak.

Računa li se dvostruki korijen jednom ili dvaput?

Kao rješenje jednadžbe to je jedna vrijednost i prikazuje se jednom. Kao korijen polinoma ima kratnost dva, zbog čega faktorizirani oblik sadrži kvadrat, na primjer 2(x − 1)².