Utilia
Kategorie ▾
Język: pl ▾

Kalkulator równania kwadratowego

Rozwiąż równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0: delta, dokładne pierwiastki z niewymiernościami, pierwiastki zespolone, postać kanoniczna, iloczynowa i wykres.

Równanie ax² + bx + c = 0

Akceptowane są liczby całkowite, dziesiętne i ułamki, np. 1/2. Puste b lub c liczy się jako 0.

Przykłady

–

    Rozwiązanie krok po kroku

    Jak korzystać z kalkulatora równania kwadratowego

    1. Wpisz trzy współczynniki równania ax² + bx + c = 0 w polach Współczynnik a, Współczynnik b i Współczynnik c. Akceptowane są liczby całkowite, dziesiętne i ułamki, np. 1/2, a puste b lub c liczy się jako 0.
    2. Odpowiedź aktualizuje się podczas pisania; przycisk Rozwiąż robi to samo. Wyczyść opróżnia trzy pola, a Kopiuj kopiuje równanie i jego rozwiązania.
    3. Odczytaj Rozwiązania: każdy pierwiastek jest podany w postaci dokładnej, a obok – w przybliżeniu dziesiętnym, gdy wartość dokładna nie jest krótką liczbą dziesiętną.
    4. Niżej narzędzie podaje Wyróżnik (delta) Δ, Wierzchołek, Oś symetrii, Punkt przecięcia z osią y, kierunek ramion paraboli oraz sumę i iloczyn pierwiastków. Dalej są trzy Postacie funkcji (ogólna, kanoniczna i iloczynowa) oraz Wykres paraboli.
    5. Rozwiązanie krok po kroku powtarza całe obliczenia: deltę, pierwiastek z Δ, wzór na pierwiastki, oba pierwiastki, wierzchołek, postać iloczynową i sprawdzenie.

    Przyciski w sekcji Przykłady wczytują typowe przypadki: dwa pierwiastki całkowite, pierwiastek podwójny, pierwiastki zespolone i pierwiastki niewymierne. Wszystko liczy się w twojej przeglądarce.

    Wzór na pierwiastki i delta

    Równanie kwadratowe ma postać ax² + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0. Jego rozwiązania daje wzór:

    x = (−b ± √Δ) / (2a), gdzie Δ = b² − 4ac

    O wszystkim decyduje wyróżnik, czyli delta Δ:

    • Δ > 0: dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Jeśli Δ jest kwadratem liczby wymiernej (a współczynniki są wymierne), pierwiastki są wymierne, a trójmian ładnie rozkłada się na czynniki, np. x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
    • Δ = 0: jeden pierwiastek podwójny, x = −b / (2a). Parabola dotyka osi x w wierzchołku.
    • Δ < 0: brak pierwiastków rzeczywistych. Pierwiastek z liczby ujemnej jest urojony, √Δ = i√|Δ|, więc pierwiastki to dwie sprzężone liczby zespolone, np. −1 ± 2i.

    Narzędzie liczy na dokładnych ułamkach, więc nigdy nie traci precyzji. Gdy √Δ nie jest liczbą całkowitą, upraszcza pierwiastek (√32 = 4√2) i skraca wynik: x² + 3x + 1 = 0 daje x = (−3 ± √5)/2, a x² − 8 = 0 daje x = ±2√2.

    Postać kanoniczna, iloczynowa i wykres

    Postać kanoniczna a(x − p)² + q bezpośrednio pokazuje wierzchołek W = (p, q), gdzie p = −b / (2a) i q = −Δ / (4a). Prosta x = p to oś symetrii: oba pierwiastki leżą w tej samej odległości od niej. Gdy a > 0, ramiona paraboli są skierowane w górę, a q to wartość najmniejsza; gdy a < 0 – w dół, a q to wartość największa.

    Postać iloczynowa a(x − x₁)(x − x₂) korzysta z pierwiastków. Przy pierwiastkach wymiernych narzędzie zapisuje czynniki o współczynnikach całkowitych, np. 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Gdy Δ < 0, trójmianu nie da się rozłożyć w liczbach rzeczywistych i narzędzie informuje o tym, zanim pokaże czynniki zespolone.

    Wykres jest rysowany w skali wokół wierzchołka i pierwiastków. Niebieskie punkty oznaczają pierwiastki rzeczywiste, pomarańczowy – wierzchołek, a linia przerywana to oś symetrii.

    Na koniec narzędzie sprawdza wynik wzorami Viète’a: x₁ + x₂ = −b/a oraz x₁ × x₂ = c/a.

    Najczęściej zadawane pytania

    Co się dzieje, gdy a = 0?

    Równanie staje się wtedy liniowe, bx + c = 0, i narzędzie rozwiązuje je jako takie: x = −c / b. Jeśli także b = 0, to albo każda liczba jest rozwiązaniem (c = 0), albo nie ma żadnego (c ≠ 0).

    Dlaczego w wyniku pojawia się i?

    Litera i to jednostka urojona, dla której i² = −1. Pojawia się, gdy delta jest ujemna: parabola nigdy nie przecina osi x, więc nie ma rozwiązań rzeczywistych, ale są dwa zespolone.

    Czy współczynniki mogą być ułamkami dziesiętnymi lub zwykłymi?

    Tak. Wpisz 0,5, 1/3 albo −2,25; obliczenia pozostają dokładne, bo każdy współczynnik jest najpierw zamieniany na ułamek.

    Jak dokładne są wartości dziesiętne?

    Postać dokładna jest zawsze poprawna. Przybliżenia dziesiętne są zaokrąglane do siedmiu cyfr znaczących, co wystarcza do zadań domowych i większości zastosowań praktycznych.

    Jak znaleźć wierzchołek paraboli?

    Użyj p = −b / (2a), a następnie q = f(p), co równa się też −Δ / (4a). Narzędzie pokazuje oba wzory z twoimi liczbami w rozwiązaniu krok po kroku.

    Czy pierwiastek podwójny liczy się raz, czy dwa razy?

    Jako rozwiązanie równania to jedna wartość, pokazana raz. Jako pierwiastek wielomianu ma krotność dwa, dlatego postać iloczynowa zawiera kwadrat, np. 2(x − 1)².

    Podobne narzędzia