Utilia
Kategoriat ▾
Kieli: fi ▾

Toisen asteen yhtälön ratkaisija

Ratkaise toisen asteen yhtälö ax² + bx + c = 0 diskriminantilla: tarkat juuret, kompleksijuuret, huippumuoto, tekijämuoto ja paraabelin kuvaaja.

Yhtälö ax² + bx + c = 0

Kokonaisluvut, desimaaliluvut ja murtoluvut, kuten 1/2, kelpaavat. Tyhjä b tai c tulkitaan nollaksi.

Esimerkkejä

–

    Ratkaisu vaihe vaiheelta

    Näin käytät toisen asteen yhtälön ratkaisijaa

    1. Kirjoita yhtälön ax² + bx + c = 0 kolme kerrointa kenttiin Kerroin a, Kerroin b ja Kerroin c. Kokonaisluvut, desimaaliluvut ja murtoluvut, kuten 1/2, kelpaavat, ja tyhjä b tai c tulkitaan nollaksi.
    2. Vastaus päivittyy kirjoittaessasi, ja Ratkaise tekee saman. Tyhjennä tyhjentää kolme kenttää ja Kopioi kopioi yhtälön ja sen ratkaisut.
    3. Lue Ratkaisut: jokainen juuri näytetään tarkassa muodossa, ja sen perässä on desimaaliapproksimaatio, kun tarkka arvo ei ole lyhyt desimaaliluku.
    4. Alla työkalu luettelee Diskriminantin Δ, Huipun, Symmetria-akselin, Leikkauksen y-akselin kanssa, paraabelin aukeamissuunnan sekä juurten summan ja tulon. Sen jälkeen tulevat kolme Funktion muotoa (normaali-, huippu- ja tekijämuoto) sekä Paraabelin kuvaaja.
    5. Ratkaisu vaihe vaiheelta toistaa koko laskun: diskriminantti, Δ:n neliöjuuri, ratkaisukaava, molemmat juuret, huippu, tekijämuoto ja tarkistus.

    Esimerkkejä-painikkeet lataavat tyypillisiä tapauksia: kaksi kokonaislukujuurta, kaksoisjuuri, kompleksijuuret ja irrationaalijuuret.

    Ratkaisukaava ja diskriminantti

    Toisen asteen yhtälön muoto on ax² + bx + c = 0, missä a ≠ 0. Sen ratkaisut antaa ratkaisukaava:

    x = (−b ± √Δ) / (2a), missä Δ = b² − 4ac

    Diskriminantti Δ ratkaisee kaiken:

    • Δ > 0: kaksi eri reaalijuurta. Jos Δ on neliöluku (ja kertoimet ovat rationaalisia), juuret ovat rationaalisia ja polynomi jakautuu siististi tekijöihin, esimerkiksi x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
    • Δ = 0: yksi kaksoisjuuri, x = −b / (2a). Paraabeli koskettaa x-akselia huipussaan.
    • Δ < 0: ei reaalijuuria. Negatiivisen luvun neliöjuuri on imaginaarinen, √Δ = i√|Δ|, joten juuret ovat kaksi kompleksista liittolukua, kuten −1 ± 2i.

    Työkalu laskee tarkoilla murtoluvuilla, joten tarkkuus ei koskaan häviä. Kun √Δ ei ole kokonaisluku, työkalu sieventää juurilausekkeen (√32 = 4√2) ja supistaa tuloksen: yhtälön x² + 3x + 1 = 0 ratkaisu on x = (−3 ± √5)/2 ja yhtälön x² − 8 = 0 ratkaisu on x = ±2√2.

    Huippumuoto, tekijämuoto ja kuvaaja

    Huippumuoto a(x − h)² + k näyttää huipun (h, k) suoraan, kun h = −b / (2a) ja k = −Δ / (4a). Suora x = h on symmetria-akseli: molemmat juuret ovat yhtä kaukana siitä. Kun a > 0, paraabeli aukeaa ylöspäin ja k on sen minimi. Kun a < 0, se aukeaa alaspäin ja k on sen maksimi.

    Tekijämuoto a(x − x₁)(x − x₂) käyttää juuria. Rationaalisilla juurilla työkalu kirjoittaa kokonaislukutekijät, esimerkiksi 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Kun Δ < 0, polynomia ei voi jakaa tekijöihin reaalilukujen joukossa, ja työkalu kertoo sen ennen kompleksisten tekijöiden näyttämistä.

    Kuvaaja piirretään mittakaavassa huipun ja juurten ympärille. Siniset pisteet merkitsevät reaalijuuria, oranssi piste huippua ja katkoviiva symmetria-akselia.

    Lopuksi työkalu tarkistaa tuloksen Vietan kaavoilla: x₁ + x₂ = −b/a ja x₁ × x₂ = c/a.

    Usein kysytyt kysymykset

    Mitä tapahtuu, jos a = 0?

    Silloin yhtälö on ensimmäisen asteen yhtälö bx + c = 0, ja työkalu ratkaisee sen sellaisenaan: x = −c / b. Jos myös b on 0, joko jokainen luku on ratkaisu (c = 0) tai ratkaisua ei ole (c ≠ 0).

    Miksi tuloksessa on i?

    Kirjain i on imaginaariyksikkö, jolle i² = −1. Se ilmestyy, kun diskriminantti on negatiivinen: paraabeli ei koskaan leikkaa x-akselia, joten reaaliratkaisua ei ole, mutta kaksi kompleksista ratkaisua on.

    Voinko antaa kertoimiksi desimaali- tai murtolukuja?

    Voit. Kirjoita 0,5, 1/3 tai −2,25. Laskenta pysyy tarkkana, koska jokainen kerroin muunnetaan ensin murtoluvuksi.

    Kuinka tarkkoja desimaaliarvot ovat?

    Tarkka muoto on aina oikein. Desimaaliapproksimaatiot pyöristetään seitsemään merkitsevään numeroon, mikä riittää kotitehtäviin ja useimpiin käytännön tarkoituksiin.

    Miten löydän paraabelin huipun?

    Käytä kaavaa h = −b / (2a) ja sitten k = f(h), mikä on myös −Δ / (4a). Työkalu näyttää molemmat kaavat sinun luvuillasi ratkaisussa vaihe vaiheelta.

    Lasketaanko kaksoisjuuri kerran vai kahdesti?

    Yhtälön ratkaisuna se on yksi arvo, ja se näytetään kerran. Polynomin juurena sen kertaluku on kaksi, minkä vuoksi tekijämuoto sisältää neliön, kuten 2(x − 1)².

    Aiheeseen liittyvät työkalut