Andragradsekvation – lös med diskriminant och graf

Q: Vad händer om a = 0?

Ekvationen är då en förstagradsekvation, bx + c = 0, och verktyget löser den som sådan: x = −c / b. Om b också är 0 är antingen varje tal en lösning c = 0 eller så finns ingen c ≠ 0 .

Q: Varför får jag ett resultat med i?

Bokstaven i är den imaginära enheten, med i² = −1. Den visas när diskriminanten är negativ: parabeln skär aldrig x axeln, så det finns ingen reell lösning, men det finns två komplexa.

Q: Kan jag skriva decimaltal eller bråk som koefficienter?

Ja. Skriv 0,5, 1/3 eller −2,25. Beräkningen förblir exakt eftersom varje koefficient först omvandlas till ett bråk.

Q: Hur noggranna är decimalvärdena?

Den exakta formen är alltid korrekt. Decimala approximationer avrundas till sju värdesiffror, vilket räcker för läxor och de flesta praktiska användningar.

Q: Hur hittar jag extrempunkten på en parabel?

Använd h = −b / 2a och sedan k = f h , som också är lika med −Δ / 4a . Verktyget visar båda formlerna med dina tal i lösningen steg för steg.

Q: Räknas dubbelroten en eller två gånger?

Som lösning till ekvationen är den ett enda värde och visas en gång. Som rot till polynomet har den multiplicitet två, och därför innehåller den faktoriserade formen en kvadrat, till exempel 2 x − 1 ².

Andragradsekvation – lösare

Lös valfri andragradsekvation ax² + bx + c = 0 med diskriminant, exakta rötter, komplexa rötter, kvadratkompletterad och faktoriserad form samt graf.

Ekvation ax² + bx + c = 0

a b c

Heltal, decimaltal och bråk som 1/2 accepteras. Ett tomt b eller c räknas som 0.

Exempel

–

Lösning steg för steg

Så använder du lösaren för andragradsekvationer

Skriv de tre koefficienterna i ax² + bx + c = 0 i Koefficient a, Koefficient b och Koefficient c. Heltal, decimaltal och bråk som 1/2 accepteras, och ett tomt b eller c räknas som 0.
Svaret uppdateras medan du skriver. Lös gör samma sak. Rensa tömmer de tre fälten och Kopiera kopierar ekvationen och dess lösningar.
Läs av Lösningar: varje rot visas i exakt form, följd av en decimal approximation när det exakta värdet inte är ett kort decimaltal.
Nedanför listar verktyget Diskriminant Δ, Extrempunkt, Symmetrilinje, Skärning med y-axeln, åt vilket håll parabeln öppnar sig samt summan och produkten av rötterna. De tre Funktionens former (standardform, kvadratkompletterad och faktoriserad) och Parabelns graf följer.
Lösning steg för steg återger hela uträkningen: diskriminant, kvadratroten ur Δ, andragradsformeln, båda rötterna, extrempunkt, faktoriserad form och en kontroll.

Knapparna under Exempel laddar typiska fall: två heltalsrötter, en dubbelrot, komplexa rötter och irrationella rötter.

Andragradsformeln och diskriminanten

En andragradsekvation har formen ax² + bx + c = 0 med a ≠ 0. Lösningarna ges av andragradsformeln (ofta kallad abc-formeln, och pq-formeln när a = 1):

x = (−b ± √Δ) / (2a), där Δ = b² − 4ac

Diskriminanten Δ avgör allt:

Δ > 0: två olika reella rötter. Om Δ är en kvadrat (och koefficienterna är rationella) är rötterna rationella och polynomet faktoriseras snyggt, till exempel x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Δ = 0: en dubbelrot, x = −b / (2a). Parabeln tangerar x-axeln i sin extrempunkt.
Δ < 0: ingen reell rot. Kvadratroten ur ett negativt tal är imaginär, √Δ = i√|Δ|, så rötterna är två komplexkonjugerade tal som −1 ± 2i.

Verktyget räknar med exakta bråk och förlorar därför aldrig precision. När √Δ inte är ett heltal förenklas roten (√32 = 4√2) och resultatet förkortas: x² + 3x + 1 = 0 ger x = (−3 ± √5)/2, och x² − 8 = 0 ger x = ±2√2.

Kvadratkompletterad form, faktoriserad form och grafen

Den kvadratkompletterade formen a(x − h)² + k visar extrempunkten (h, k) direkt, med h = −b / (2a) och k = −Δ / (4a). Linjen x = h är symmetrilinjen: båda rötterna ligger lika långt från den. När a > 0 öppnar parabeln sig uppåt och k är dess minimum. När a < 0 öppnar den sig nedåt och k är dess maximum.

Den faktoriserade formen a(x − x₁)(x − x₂) använder rötterna. Med rationella rötter skriver verktyget faktorer med heltal, till exempel 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). När Δ < 0 kan polynomet inte faktoriseras över de reella talen, och verktyget säger det innan de komplexa faktorerna visas.

Grafen ritas i skala runt extrempunkten och rötterna. Blå punkter markerar de reella rötterna, den orange punkten markerar extrempunkten och den streckade linjen är symmetrilinjen.

Som en sista kontroll tillämpar verktyget Vietas formler: x₁ + x₂ = −b/a och x₁ × x₂ = c/a.

Allt räknas i din webbläsare. Inget du skriver in skickas till en server.

Vanliga frågor

Vad händer om a = 0?

Ekvationen är då en förstagradsekvation, bx + c = 0, och verktyget löser den som sådan: x = −c / b. Om b också är 0 är antingen varje tal en lösning (c = 0) eller så finns ingen (c ≠ 0).

Varför får jag ett resultat med i?

Bokstaven i är den imaginära enheten, med i² = −1. Den visas när diskriminanten är negativ: parabeln skär aldrig x-axeln, så det finns ingen reell lösning, men det finns två komplexa.

Kan jag skriva decimaltal eller bråk som koefficienter?

Ja. Skriv 0,5, 1/3 eller −2,25. Beräkningen förblir exakt eftersom varje koefficient först omvandlas till ett bråk.

Hur noggranna är decimalvärdena?

Den exakta formen är alltid korrekt. Decimala approximationer avrundas till sju värdesiffror, vilket räcker för läxor och de flesta praktiska användningar.

Hur hittar jag extrempunkten på en parabel?

Använd h = −b / (2a) och sedan k = f(h), som också är lika med −Δ / (4a). Verktyget visar båda formlerna med dina tal i lösningen steg för steg.

Räknas dubbelroten en eller två gånger?

Som lösning till ekvationen är den ett enda värde och visas en gång. Som rot till polynomet har den multiplicitet två, och därför innehåller den faktoriserade formen en kvadrat, till exempel 2(x − 1)².