Utilia
Categories ▾
Idioma: ca ▾

Solucionador d'equacions de segon grau

Resol qualsevol equació de segon grau ax² + bx + c = 0 amb el discriminant, arrels exactes, arrels complexes, forma de vèrtex, factorització i gràfica.

Equació ax² + bx + c = 0

S'accepten enters, decimals i fraccions com 1/2. Una b o una c buides compten com a 0.

Exemples

–

    Resolució pas a pas

    Com utilitzar el solucionador d’equacions de segon grau

    1. Escriu els tres coeficients de ax² + bx + c = 0 a Coeficient a, Coeficient b i Coeficient c. S’accepten enters, decimals i fraccions com 1/2, i una b o una c buides compten com a 0.
    2. La resposta s’actualitza mentre escrius; Resol fa el mateix. Esborra buida les tres caselles i Copia copia l’equació i les seves solucions.
    3. Llegeix les Solucions: cada arrel es mostra en forma exacta, seguida d’una aproximació decimal quan el valor exacte no és un decimal curt.
    4. A sota, l’eina llista el Discriminant Δ, el Vèrtex, l’Eix de simetria, el Tall amb l’eix y, el sentit en què s’obre la paràbola i la suma i el producte de les arrels. A continuació venen les tres Formes de la funció (general, de vèrtex i factoritzada) i una Gràfica de la paràbola.
    5. La Resolució pas a pas repeteix tot el procediment: discriminant, arrel quadrada de Δ, fórmula de segon grau, les dues arrels, vèrtex, forma factoritzada i una comprovació.

    Els botons d’Exemples carreguen casos típics: dues arrels enteres, una arrel doble, arrels complexes i arrels irracionals. Tot es calcula al teu navegador, sense enviar res a cap servidor.

    La fórmula de segon grau i el discriminant

    Una equació de segon grau té la forma ax² + bx + c = 0 amb a ≠ 0. Les seves solucions les dona la fórmula de segon grau:

    x = (−b ± √Δ) / (2a), on Δ = b² − 4ac

    El discriminant Δ ho decideix tot:

    • Δ > 0: dues arrels reals diferents. Si Δ és un quadrat perfecte (i els coeficients són racionals), les arrels són racionals i el polinomi es factoritza amb facilitat, per exemple x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
    • Δ = 0: una arrel doble, x = −b / (2a). La paràbola toca l’eix x al vèrtex.
    • Δ < 0: cap arrel real. L’arrel quadrada d’un nombre negatiu és imaginària, √Δ = i√|Δ|, de manera que les arrels són dos complexos conjugats com −1 ± 2i.

    Aquesta eina calcula amb fraccions exactes, així que no perd mai precisió. Quan √Δ no és un nombre enter, simplifica el radical (√32 = 4√2) i redueix el resultat: x² + 3x + 1 = 0 dona x = (−3 ± √5)/2, i x² − 8 = 0 dona x = ±2√2.

    Forma de vèrtex, forma factoritzada i gràfica

    La forma de vèrtex a(x − h)² + k mostra directament el vèrtex (h, k), amb h = −b / (2a) i k = −Δ / (4a). La recta x = h és l’eix de simetria: les dues arrels són a la mateixa distància d’aquest eix. Quan a > 0, la paràbola s’obre cap amunt i k n’és el mínim; quan a < 0, s’obre cap avall i k n’és el màxim.

    La forma factoritzada a(x − x₁)(x − x₂) utilitza les arrels. Amb arrels racionals, l’eina escriu factors enters, per exemple 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Quan Δ < 0 no es pot factoritzar sobre els nombres reals, i l’eina ho indica abans de mostrar els factors complexos.

    La gràfica es dibuixa a escala al voltant del vèrtex i de les arrels. Els punts blaus marquen les arrels reals, el punt taronja marca el vèrtex i la línia discontínua és l’eix de simetria.

    Com a comprovació final, l’eina aplica les fórmules de Cardano-Viète: x₁ + x₂ = −b/a i x₁ × x₂ = c/a.

    Preguntes freqüents

    Què passa si a = 0?

    Aleshores l’equació és lineal, bx + c = 0, i l’eina la resol com a tal: x = −c / b. Si b també és 0, o bé qualsevol nombre és solució (c = 0) o bé no n’hi ha cap (c ≠ 0).

    Per què obtinc un resultat amb i?

    La lletra i és la unitat imaginària, amb i² = −1. Apareix quan el discriminant és negatiu: la paràbola no talla mai l’eix x, per tant no hi ha solució real, però sí dues solucions complexes.

    Puc introduir decimals o fraccions com a coeficients?

    Sí. Escriu 0,5, 1/3 o −2,25; el càlcul continua sent exacte perquè cada coeficient es converteix primer en una fracció.

    Quina precisió tenen els valors decimals?

    La forma exacta sempre és correcta. Les aproximacions decimals s’arrodoneixen a set xifres significatives, cosa que és suficient per als deures i per a la majoria dels usos pràctics.

    Com trobo el vèrtex d'una paràbola?

    Utilitza h = −b / (2a) i després k = f(h), que també és igual a −Δ / (4a). L’eina mostra les dues fórmules amb els teus nombres a la resolució pas a pas.

    L'arrel doble es compta una vegada o dues?

    Com a solució de l’equació és un sol valor, i es mostra una vegada. Com a arrel del polinomi té multiplicitat dos, i per això la forma factoritzada conté un quadrat, com 2(x − 1)².

    Eines relacionades